论数学解题教学的误区及教学策略

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内容摘要:注重解题教学,培养学生分析问题、解决问题的能力,是现代数学教育的特点。但是,目前解题教学存在着许多误区,正严重影响着学生解题能力的培养。本文试对此做一剖析并提出一些解题教学策略。  一、数学解题教学的误区  误区一:重视各种具体的解法技巧,轻视普遍的解题思维方法

GB/T 7714-2015 格式引文:[1].论数学解题教学的误区及教学策略.[J]或者报纸[N].课程·教材·教法,(05):22-24

正文内容

  注重解题教学,培养学生分析问题、解决问题的能力,是现代数学教育的特点。但是,目前解题教学存在着许多误区,正严重影响着学生解题能力的培养。本文试对此做一剖析并提出一些解题教学策略。

  一、数学解题教学的误区

  误区一:重视各种具体的解法技巧,轻视普遍的解题思维方法。目前解题教学中教师关心的往往是每个题目的各种不同方法的解答或证明。一个例题总要给好几种解法,结果对同一问题的解决方法越来越多,越来越巧。教师备课时就不再是认认真真地仔细钻研教材,落实好教材中体现的通用解法,而是翻阅各种复习资料、杂志去寻求巧法妙解,无形中看轻了解题的基本技能和基本方法的训练,削弱了对基本数学思想方法的启迪和训练。

  误区二:重题型归类教学法,搞题海战术,视解题为“对题型,套解法”活动。题型归类教学法的特点是把教学中的所有训练题分成许多种类型,针对每种类型,教师通过一两个典型例题讲授这类题的解法,然后出一些同类型的训练题要求学生按照例题的解法去做,通过这种接受解法、练习解法活动使学生掌握、记住这一类型题目的解法。这种教学方法表面看来具有举一反三的功效,也确实具有一定的短期效益,但却存在着严重的弊端。首先,教师往往不管学生是否弄明白了这种解法就马上出练习题(美其名曰精讲多练)。这样,学生解决问题的主要手段就是“套解法模式”。长此以往,学生的思维就得不到有效训练,创造性思维品质更得不到培养。其次,这种教学方法势必使教师把研究题型归类、搜集各种题目、寻求一类题目统一解法作为自己教学研究的主课题,无暇顾及教学改革,不去深入钻研教学大纲,而是尽其所能让学生见识到各式各样的题型,偏题、怪题有时也被作为具有新意的题型介绍给学生。题型方法一多,学生记忆负担就加重,学习起来苦而无趣。第三,教师为了让学生见多识广,必然大搞题海战术,题海战术需要时间,从而压缩基础知识的学习时间,结果不让学生参与概念定义的过程,把概念形成的生动过程变成宣读、死背定义的过程,忽视结论的推导过程,把形成公式、定理、法则的真实过程变成抛结论的过程,严重影响了学生概括能力、分析能力的提高。

  误区三:片面理解“暴露思维过程”这一教学原则。解题必须充分暴露思维过程,尽展探索性的分析思路。但一些教师却片面理解为把得到正确解答的思维过程或教师自己解决问题的思维过程暴露给学生。由于教师处理问题时受其解题经验及直觉的影响,一开始都能从正确思路出发沿正确途径去解题,结果教师暴露给学生的往往是解题专家的分析思路、思维过程,中间显现不出如思维的定向、选择这种重要的思维关键,从而不利于培养学生独立思维的能力。

  数学解题教学若走不出上述误区,学生的解题能力将难以从根本上得到提高。为此,我们提出如下解题教学策略。

  二、数学解题教学策略

  策略一:知识教学方面,力求算法化

  数学的一个特征就是许多数学问题的算法性质,一个算法就是指解答同一类型的问题的运算程序。解题活动可以分为算法和非算法两种方式,算法方式的特点是解题者具有解该题型的算法,非算法方式的特点则是解题者不具有解该类型题的算法。显然,非算法方式的解题活动的难度明显高于算法式解题活动,故教学要力求算法化。教科书中的算法大多数采用概念、公式、法则等简缩形式给出的,教学的任务就是“教会学生把公式、文字法则、定义变换成实现这个公式、法则等的算法程序,教会学生能依据以简缩形式给出的算法建立程序”。如概念教学,不要只让学生记住定义,明确定义的内涵和外延,更重要的是要掌握由定义展成的算法程序,即概念要算法化。如讲授过奇函数定义后,就应当使学生会(口头的、心里的)把它展成如下判定一个函数是否为奇函数的算法程序:第一步,判断定义域是否对称(对称,进行第二步;不对称,否定结论);第二步,计算f(-x);第三步,比较f(x)与f(-x)(相反,肯定结论;不相反,否定结论)。很显然,学生通过算法化教学学到的知识更易被转化为解题能力。

  策略二:注重解题思维过程的教学,让学生学会解题思维

  解题过程是个思维活动的过程,为了教会学生解题,例题教学中必须注意调动学生思维活动的积极性,让其真正参与解题思维活动。

  一方面,例题的讲解要有意识引导学生参与各种主要的思维活动,如“动员、分离、组织辨认和回忆等各项活动”,以训练其思维能力,并使学生逐步认识解题思维活动的基本规律。

  另一方面,解题教学要充分暴露解题思维过程,显示为什么要这样做和怎么做的思维过程,突出解题中的探索环节及解题方法被发现的过程,以培养学生解题思维中的调控能力。这要求教师要从学生的思维角度出发,将解题思维过程精心设计成一个符合学生认知结构特点的带有枝叉选择的思维过程。值得注意的是,暴露思维过程不应一味展示给学生畅通的思维过程,必须适当体现一些错误思维的暴露和纠正过程,因为学生解题一开始的分析思路可能是不对的,这时如何进行思维“转舵”,如何选择有效的思维方向就显得非常重要。其实,学生只有自己能够选择正确的思维方向才算真正学会了解题思维。若教师有意不完全回避错误,暴露错误思维及其纠正过程,就能使学生在这方面得到训练。

  还有,经常使用波利亚的怎样解题表中的问题启发学生,引导学生认识和掌握解题的基本程序:“(1)理解题意;(2)设计解题方案;(3)实施方案;(4)检查回顾。”培养学生解题的有序思维习惯,对他们解题思维能力的提高也是非常有意义的。

  策略三:注重一般解题技能的教学,把解题的一般技能与解特定类型问题的个别技能区分开,注重传授一般的解题技能与普遍的解题思维方法

  教学除了教会学生解某类题的个别方法外,还要发展解数学题的一般技能,应该用解任何一般题的思维方法、解题技能来武装学生。因此,解题教学应该强调和突出解题的一般方法,即要突出基本教学思想及常用数学方法的教学。这要求的不是不假思索的大量解题,而是要求从容不迫地按一般解题程序细致地解为数不多的题,即对问题先进行功能性解决分析,然后再进行具体解决,解决后还必须紧接着进行认真的分析,进一步揭示解任何数学题的一般数学思维和方法。

  策略四:注重解题策略的教学

  解题策略是指探求问题的答案时所采取的途径和方法,是最高层次的解题方法,具有普遍性。面临一个问题采取什么样的策略,是解题者接触和分析问题之后,首先进行的选择性思维操作。美国当代数学教育家Schoenfeld指出,假设学生已较好地掌握了特定领域内的知识,就可以教给他们一定的相关的解题策略,以使他们在需要解决的问题中发挥得更好,并给出5种常用解题策略:

  1.一有可能就作图;

  2.如果有整数就试着用数学归纳法;

  3.考虑逻辑选择,用反证法或对比的方法;

  4.考虑一个带有更少变量的类似问题;

  5.试着建立一些子目标。

  英国数学教育家Nelson也系统总结了常用的解题策略:

  1.类比 将所呈现的状态转化到一个类似的目标状态;

  2.手段目的分析法 找出现有条件和结论之间的主要差别并设法消除它,如果这一步失败了,就要找次要点的,并设法消除它,如此继续下去,此即是Newell-simion的一般问题解决者的方案;

  3.后退一步 用一个更简单的子目标代替原目标;

  4.设计和简化 问题空间的设计可使问题得以简化并有助于求得一条路,即找到一个解决的方案;

  5.类推 简单的类似问题的解决是很有用的,可借鉴;

  6.代表元法 选择问题的一个典型代表可使求解简化;

  7.酝酿 实践证明,临时中断解决问题的活动是很有益的;

  8.顿悟 自由的随机的联想可以产生新的不同寻常的思想。

  我国学者也提出了许多种解题策略,例如:

  1.依靠已有的解题模式,通过对问题的辨认,先识别问题属于哪一类,然后以此为索引在记忆库中提取相应的方法;

  2.以退求进 解题时先尽可能地退到我们最容易看清楚问题的地方,认透了,钻深了,然后再上去。具体地讲,就是从一般退到特殊,从复杂退到简单,从抽象退到具体,从较强的结论退到较弱的结论;

  3.逆反转换 解题时顺推不行就考虑逆推,直接解决不易就考虑间接解决,从正面入手不易就从问题的反面入手,即进行与习惯性思维方向相反的探索。

  解题教学应注意渗透这些解题策略,应确实寓这些解题策略于解题教学中,使学生逐步领悟、掌握这些常规的解题策略。

参考文献

1.弗利德曼:《中小学数学教学心理学原理》,北京师范大学出版社1987年版。

2.波利亚:《怎样解题》,科学出版社1984年版。

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