将研究性学习引入数学课堂教学

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副标题:——“直线的倾斜角和斜率”课例研究

内容摘要:最近,为了适应新课程标准的要求及素质教育改革的新形势,我们学校在高二年级开设了研究性学习课程。旨在改革以“接受性学习”为主的传统的课堂教学,在接受性学习与研究性学习之间找到恰当的平衡点,从而培养学生的创新精神和实践能力。我们数学备课组在积极参加研究性学习课程

GB/T 7714-2015 格式引文:[1].将研究性学习引入数学课堂教学.[J]或者报纸[N].中学数学教学参考,(03)

正文内容

  最近,为了适应新课程标准的要求及素质教育改革的新形势,我们学校在高二年级开设了研究性学习课程。旨在改革以“接受性学习”为主的传统的课堂教学,在接受性学习与研究性学习之间找到恰当的平衡点,从而培养学生的创新精神和实践能力。我们数学备课组在积极参加研究性学习课程改革的同时,也努力寻找将研究性学习方式引进数学课堂教学的方法,努力使研究性学习成为我们进行课堂教学设计的一种理念。我们的探索实践活动以“系列案例研究”为主,每一个“案例研究”包括四个环节:课堂实录、教师访谈、学生访谈、课后记。以下是我们所做的第一个案例研究。

  

  

   一、课堂实录

  授课时间:2001年9月17日下午第二节课(14∶50~15∶30)

  授课人:王志江

  学生状况:学校属于北京市丰台区区级示范学校,学生整体基础较好,但思维水平的差距较大。学生喜欢上数学课,课堂上积极主动、充满热情。

  教师:黑板上有一大一小两个正方形,我想画出它们的对角线,但工具只有一个等腰直角的三角板,同学们能帮我想出一个好办法吗?

  (注:大正方形的对角线长大于等腰直角三角板的斜边长。)

  学生1:用三角板连结O[,1]B[,1]即得正方形O[,1]A[,1]B[,1]C[,1]的一条对角线,画法依据是:两点确定一条直线,大正方形……

  学生2:三角板的斜边与OA重合,45°顶点与点O重合,沿一直角边画线段,并将这条线段延长至B即可。 画法依据是:一点和一个角也可以确定一条直线。

  教师:很好!但能否推而广之,说:任意一条直线都可以由一点和一角来确定呢?

  学生:……

  教师:“形缺数时难入微”!(华罗庚语)

  学生3:以O为原点,OA所在直线为x轴建立直角坐标系, 则直线OB由原点及∠xOB确定。

  学生4:直线OB太特殊了,可以再任意画一条直线MN,它是由点N及∠xNM确定的。

  教师:∠xOB、∠xNM显然表示了两条直线的倾斜程度,同学们能否给它们取个名字?

  

  学生5:倾斜角。

  教师:对,那你们能用自己的语言描述一下倾斜角吗?

  学生6:直线向上的方向与x轴的正方向所成的角叫做直线的倾斜角。

  

  学生7:我认为他说的不对。高一时, 我们将角的概念进行了推广,说的是一个终边相同的角的集合,如果想明确直线的倾斜角,还需加上“最小正角”四个字。

  教师:精彩!那么,我们能否说“直线向上的方向与x 轴的正方向所成的最小正角就叫做直线的倾斜角”呢?

  学生异口同声:能!(教师的表情提示学生:再想想!)

  学生8:我明白了,它没有包括与y轴垂直的直线。其他同学也恍然大悟。

  教师:对!现在,你们能给出直线的倾斜角的定义吗?

  学生9:如果直线不垂直于y轴,则它的向上的方向与x 轴的正方向所成的最小正角叫做它的倾斜角。如果直线垂直于y轴, 规定它的倾斜角为0度。

  教师:非常好!像这种特殊情况拿出来作特殊规定的定义以前见过吗?

  学生10:见过,立体几何中直线与平面所成的角就包括“直线与平面斜交、直线与平面垂直、直线与平面平行或在平面内”三种情况。

  教师:直线的倾斜角有没有确定的范围呢?

  教师同时演示电脑动画:将线段PA设置为红色,设置点P在以点A为圆心,以2cm为半径的圆上的动画(圆被隐藏,也可不用动画, 沿圆缓慢拖动点P)。在垂直于x轴与垂直于y轴时作短暂停顿。

  

  学生11:[0°,180°)(或[0,π))。

  教师:我们对倾斜角已有了较为充分的认识。下面,我们回忆一下,昨天我们学习了一次函数的图象与直线的方程,如2x+3y-6=0,发现x∈R,y∈R,所有的系数也都属于实数集R, 但用来刻画直线倾斜程度的量——倾斜角,却显得有些“特别”;角度制是60进位制,弧度制仅建立了与实集数R的真子集[0,π)之间的一个对应关系,我们能不能想个办法,在倾斜角与全体实数集R之间建立一个对应关系呢?

  学生12:可以!取三角函数。

  教师:常用的三角函数有四种,取哪一个呢?

  学生13:正弦函数与余弦函数的值域是[-1,1]不符合要求,正切函数与余切函数在(0,π)上值域都是R,我不知该取哪一个?(其他同学都有同感)

  学生14:我们不是对正切函数更熟吗?干脆取正切算了!

  教师:我认为他说得有道理,大家先听他的,其他情况同学们课后再研究,行吗?

  学生:行!(学生14很得意)

  教师:好,我们给直线倾斜角的正切先取名叫“斜率”, 用字母k表示。下面,同学们画出y=tgα,α∈[0,π)的图象来,研究一下,看有什么发现?

  学生15:α=90°时,正切值不存在。

  教师:那我们该如何给直线的斜率下定义呢?

  学生16:当直线的倾斜角不等于90°或者说直线不垂直于x轴时, 它的倾斜角的正切值叫做它的斜率。记作k=tgα; 当直线的倾斜角等于90°或直线与x轴垂直时,它的斜率不存在。

  教师:太棒了!k=tgα沟通了直线倾斜角α与直线斜率k之间的关系,同学们能不能设计几个问题来展示一下这种关系。

  学生17:如果直线的倾斜角为60°,求直线的斜率;如果直线的斜率为-1,求直线的倾斜角。

  学生18:第一个问题的答案是,第二个问题的答案是135°。我也想出个题:如果直线的倾斜角为40°,求直线的斜率;如果直线的斜率为-2,求直线的倾斜角。

  学生19:第一个问题的答案是tg40°,第二个问题的答案是π-arc tg2。如允许查表,可以算出具体的值来。

  教师:同学们的题设计得很好,既有正向思维的,又有逆向思维的,既有特殊的,又有一般的,我也有点儿按捺不住了:如果直线的倾斜角为α,求它的斜率。

  学生20:太简单了!tgα!(有的同学一脸疑惑,心想:老师设计的题怎么这么简单?没准是个陷阱)

  学生21:应该分类讨论:α≠90°时,k=tgα;α=90°时, 斜率不存在,。

  教师:思维是否深刻,是否严密,往往就在一念之间,小心哟!好了,我们再接着研究一个问题:有时候,我们既不知道一条直线的倾斜角,也不知道它的斜率,我们只知道:点动成线,而每一个点都对应一个有序实数对,类比前几天的学习思路,你们能提出值得探究的新问题吗?

  学生22:前面学习的有向线段的数量、长度、两点间距离公式都可以用直线上点的坐标来表示,我想问:直线的斜率能否用直线上点的坐标来表示呢?

  教师:very good!下面,同学以学习小组为单位合作研究。 顺便问一句:如果难以把握整体情况,怎么办?

  学生:可以先从特殊情况入手。

  教师:好,比一比,看哪个小组有更多的新的发现!(教师参与到学生的合作学习之中,5分钟之后……)

  教师:哪个小组派代表上来,把你们的研究所对应的图形画在黑板上?

  学生23(第二小组):图形如下:

  

  学生24(第10小组):

  

  学生25:图①:α=0,k=0;图②:α=90°,k不存在;图③与图⑤可以根据三角函数定义得tgα=y[,1]/x[,1],图④、⑥,先构造直角三角形……(略)。最后得k=(y[,2]-y[,1])/(x[,2]-x[,1])。

  教师:我们能否用k=(y[,2]-y[,1])/(x[,2]-x[,1])来解释一下特殊情形①②③⑤?

  学生26:可以。在①中,相当于y[,2]=y[,1],分子为0,故k =0;在②中,相当于x[,2]=x[,1],分母为0,故k不存在;在③、④中,相当于P[,2]的坐标为(0,0)。故k=(0-y[,1])/(0-x[,1])=y[,1]/x[,1]。

  教师:谁能用自己的语言描述一下斜率公式?

  学生27:一条不垂直于x轴的直线经过不同两点P[,1](x[,1],y[,1])、P[,2](x[,2],y[,2]),它的斜率k=(y[,2]-y[,1])/(x[,2]-x[,1])。

  学生又从正向、逆向、特殊、一般等不同角度,不同侧面进行了问题设计和解答。

  教师:已知两点A(3,2)、B(6,1)在直线上,则______。

  学生(众):可以求直线的斜率和倾斜角,还可以求│AB│,线段AB的中点坐标、三分点坐标……

  教师:对题目的已知条件稍加改变,你们还可以设计出什么问题?

  学生28:将A(3,2)、B(6,1)改为A(3,2)、B(6,2),求直线l的倾斜角和斜率。将A(3,2)、B(6,1)改为A(3,2)、B (3,1),求直线l的倾斜角和斜率。

  学生29:加上“点C(t,4)也在直线上”,求t。

  学生30:加上“另有一点C(2,3)”,试判断点C是否在直线上……

  (学生兴趣盎然,激情四射,但快下课了。)

  教师:聪明的同学一定会将问题的设计与探究延伸到课下!下面我们一起对本节课作个小结。本节课的知识点包括——

  学生:两个概念、一个公式——倾斜角的概念、斜率的概念及斜率公式。

  教师:用到的主要数学思想方法有——

  学生:坐标法,分类讨论,数形结合,由一般到特殊及由特殊到一般。

  教师:同学们的表现很好,祝贺大家又有了进步和提高!下课!

  

  

   二、教师座谈

  时间:2001年9月17日下午第3节课(15∶45~16∶25)

  地点:北京市丰台二中教师资料室

  人员:丰台区中片、西片数学骨干班全体教师;丰台区进修学校数学教研组组长刘秀华;丰台二中高二年级数学备课组全体成员:王志江、王文利、何岩。

  主持人:刘秀华

  会议记录:王文利、何岩

  座谈形式:自由发言。

  主持人:非常感谢王志江老师为咱们骨干班上了一节精彩的示范课。下面我们请王老师谈谈他的课堂教学设计思路。

  王志江:谢谢老师们不辞辛苦来听课,希望大家一定要不吝赐教。下面我先作一点简单介绍,以期抛砖引玉。

  

   1.课堂教学设计的理论支撑点

  我们进行课堂教学改革的宗旨和根本出发点是:改善和促进学生的学习与发展。

  (1 )建构主义:建构主义理论是由苏联著名教育心理学家维果斯基提出的,当今的建构主义理论是一个集体的智慧成果,它是在维果斯基、布鲁纳和皮亚杰等人的思想基础上发展起来的。建构主义认为:世界是客观存在的,但对世界的理解和赋予意义是由每个人自己决定的;每个人都是以自己头脑中已有的知识和经验来解释解决现实问题——建构现实的;强调学习的主动性、社会性和情景性,认为学习者不是知识信息的被动吸收者,而是积极主动的建构者。本节课的“问题情景的创设,开放型问题设计,系列问题的设计与探究,合作学习”等都是在这一理论指导下所做的探索与尝试。

  (2 )多元智能理论:此理论是由美国哈佛大学加德纳教授提出的。他打破了传统的一元智能观(智商)。认为人的智能是多元多维的,主要包括:语言智能、数理逻辑智能、空间视觉智能、肢体运动智能、音乐智能、人际交往智能、自省智能、存在智能、灵性与价值智能。一节数学课不可能涉及到所有的智能类型,但是,根据我们的探索与尝试,一节课如果调动了学生3~5种智能参与,就会极大地激发学生的学习兴趣,充分发挥学生的主体性,真正改善和促进学生的学习。

  

   2.课堂教学模式的探求

  近来,我们从各种数学期刊杂志上,学习了“问题解决教学模式”,我们年级又开设了研究性学习课程。应该说,中国传统的课堂教学是以接受性学习为主的,而西方近年来更强调研究性学习。我们一直本着“在批判中继承,在批判中学习和引进”的原则,努力发挥教师的潜能,力争以我们自己的创造性劳动,创设一种“适合我们学生实际的、适应时代发展与需求的”新型数学课堂教学模式。今天这节课,就是我们课题研究的系列案例之一。

  

   3.教学目标

  (1)情感目标:帮助学生体验数学学习活动中的成功与快乐, 培养学生对数学的良好情感,激发学生学习数学的热情。

  (2)知识目标:正确理解倾斜角和斜率这两个概念, 能熟练运用斜率公式,能初步进行倾斜角与斜率之间的转换。

  (3)能力目标:渗透解析法,数形结合、分类讨论, 由一般到特殊及由特殊到一般等基本数学思想方法,培养学生勇于质疑、勇于创新的精神。

  

   4.重点与难点

  ①重点:斜率公式。

  ②难点:斜率公式的探索过程。

  

   5.教学流程:略。

  主持人:下面,大家谈谈对这节课的感受!

  教师1:王老师的课令我眼前一亮!2001年6月,我也去山东诸城参加了“以多元智能为指导的开发学生潜能、塑造健全人格”的会议,回来后,学校也要求我们尝试改革,但我们一直不知从何处下手,今天这节课启发了我们的改革思路。

  教师2:今天这节课让我真正体会到“什么叫时光如流水”, 整节课,王老师的问题设计一环套一环,环环相扣,解决数学问题不再是一种负担,而成为一种享受。

  教师3:这节概念课,如按传统的教学方法,根本没什么可讲的, 但王老师站在系统的高度上来把握和处理教材,知识的横向展开,纵向挖掘,数学思想方法的交融渗透……一切都显得那么自然,那么水到渠成!

  教师4:王老师在每讲完一个概念之后, 都会引导学生设计正向思维问题、逆向思维问题、特殊问题、一般性问题、须分类讨论的问题……数学思想训练、数学思想方法的渗透显得非常自然,非常到位。

  教师5:根据我的目测,我没有发现一个分神的学生, 王老师与学生的交流就像朋友一样,非常亲切自然,我想王老师的学生一定非常喜欢上数学课。

  主持人:下面,大家再谈谈本节课存在的不足吧!

  教师6:我认为最后的开放型问题设计显得过于匆忙,其实, 在进行课堂教学改革时不一定非常追求课堂教学结构的完整性,我建议把这个环节移到下一节课。

  王文利:正如刚才这位老师所说,王老师为了追求教学结构的完整性,使得学生对有些问题的解决并不深入和彻底,如直线的斜率为什么要取倾斜角的正切,而不取其他的三角函数?坐在我旁边的那位学生就想质疑,但王老师并没有给他机会。

  何岩:我也有同感,平时,我经常听王老师的课,学生对许多问题的研究与探讨都非常深入,非常精彩,学生的主体性得到了充分的发挥,今天的课感觉有点意犹未尽。

  刘秀华:改革公开课的评价标准也是当务之急!

  主持人:下面是自由提问时间。

  教师7:请问王老师,你们的学习小组是怎样形成的? 我看学生在讨论时,显得很热烈、不像是临时的、随意的搭配。

  王志江:学生小组的形成分三个环节。(1)全班推选14 个数学小组长;(2)小组长在余下的同学中选一名自己最满意的组员, 选人的顺序用抓阄的办法产生;(3 )小组长将自己的名字及自己选中同学的名字写在一张小卡片上,并将小卡片贴在教室的墙壁上,其他同学自由填写,遵守先来后到的顺序,偶尔,也须教师做点微调。

  教师8:你所任教的班考试成绩怎么样?

  王志江:还可以,我知道,你关心教学改革是否会影响考试成绩。从长远的观点看,教改着眼于培养能力,提高素质,提高高考成绩只是许多产品中必然的一个;从近期的目标看,由于改革激发了学生的学习兴趣,所以,一般来说,考试成绩至少不会比不进行改革的班级差。

  主持人:新课程标准中明确提出要培养学生的创新精神和实践能力,课堂教学改革是时代发展的必然!我希望大家能多学习理论,多阅读国内数学期刊杂志,大胆进行课堂教学改革。只有这样,我们丰台区的数学教育才有希望;只有这样,我们才能将时代的要求与个人人生价值的实现完美地结合起来!

  

  

   三、学生访谈

  学生访谈包括两个内容:

  

   1.问卷调查

  时间:2001年9月17日下午16∶40~16∶45

  地点:北京市丰台二中高二(1)班教室

  人员:全体高二(1)班学生(56人)

  调查目的:了解学生在第一时间对此节课的感性认识

  调查问卷:

  (1)上课时,你紧张吗?

  A.紧张

   B.不紧张

  (2)在此节课的学习活动中,你拥有成就感吗?

  A.拥有

   B.不拥有

  (3)你对整节课的学习氛围感到满意吗?

  A.很满意

  B.较满意

  C.不满意

  (4)你认为合作学习的时间充分吗?

  A.充分

   B.不充分

  (5)小组合作学习对你有帮助吗?

  A.很有帮助

  B.有点儿帮助

  C.没有帮助

  (6)你对老师采用的教学方法满意吗?

  A.满意

   B.不满意

  (7)你是否认为老师上课时关注过你的感受?

  A.是

   B.否

  (8)你认为,你有提出疑问或发表不同见解的机会吗?

  A.有

   B.没有

  (9 )你是否认为此节课只须记住“倾斜角和斜率的概念及斜率公式,并能运用它们解题”就可以了?

  A.是

   B.否

  (10)你认为此节课对你养成良好的学习习惯有帮助吗?

  A.有

   B.没有

  (11)你是否认为此节课有利于你对基本数学思想方法的理解和掌握?

  A.是

   B.否

  

   2.学生座谈

  时间:2001年9月17日下午17:00~18:00

  地点:北京市丰台二中高二(1)班教室

  人员:教师:王志江 王文利 何岩

  学生:刘潮 龙旭 田亮 张维

  

  

  陈雪静 孙晓 陈昭 焦颖(除数学课代表外,其他同学是用抽签的办法选取的)

  主持人:数学课代表:刘潮

  会议记录:何岩 王文利

  主持人:在正式座谈之前,让我们先做一个测试。请大家默写倾斜角的概念、斜率概念及斜率公式。三分钟之后,将测试结果交给我。

  主持人:王老师用画正方形的对角线引入新课,我认为问题缺乏挑战性,大家感觉怎样?

  田亮:我不这么认为,虽然问题难度不太大,但一下子就吸引了我全部的注意力,这比王老师直接告诉我们“什么是倾斜角”要好得多。(其他同学也有同感)

  何岩:你们设想过不同的引入方式么?

  主持人:没想过,不过,今天晚上我要尝试一下。

  王志江:(激励的口吻)好,如果谁能设计出更好的引入方式,我就向谁拜师!(大家都乐了)

  主持人:上课时,王老师设计了许多问题,大家在解决问题时有何感觉?

  焦颖:(思维敏捷,成绩优秀):大多数问题挺好,能引发我的思考,但有的问题过于简单。

  陈雪静:我既没有觉得过于简单而不屑于思考,也没有觉得问题太难而产生畏难情绪,相反,整节课,我都在积极地思考问题、解答问题;我自始至终都拥有强烈的成就感!

  张维、孙晓:我也有同感。

  主持人:大家再谈谈对小组合作学习的看法吧。

  龙旭:我们小组讨论得很热烈,也很充分。从特殊到一般的6 个图形及每一个图形所对应的直线斜率问题都获得解决,不过,我们希望王老师不只是让我们上黑板画画图;要是能让我们同时再配上讲解就好了。

  张维:我们小组一开始讨论了一下为什么斜率要取倾斜角的正切而不取倾斜角余切,斜率公式还没有讨论彻底时,讨论就结束了。

  陈昭:我们小组只是简单地介绍了一下各自的想法,然后就没有什么可说的了。

  主持人:我私下跟许多同学都交流过,大家一致认为小组合作非常好,我们渴望这种讨论与交流,我们希望老师能给我们更多的机会。陈昭她们小组的四个女生太内向,我建议王老师给她们重新调配一下。

  王志江:好的,明天就办。

  王文利:时间比较晚了,你们最后再谈谈对数学课的整体感受吧。

  龙旭:上数学课我从来不犯困,时间在数学课上似乎过得特别快?

  陈雪静:我原来不喜欢数学,认为它太枯燥、太抽象,而且根本没有实用价值,是王老师改变了我的看法。现在,我的数学成绩虽然不是特别理想,但是我已经喜欢上数学课了。

  田亮:王老师讲的数学思想方法对我们影响很大。现在我们不仅在物理、化学的学习中用到分类讨论,而且在语文课也经常使用,语文老师还因此表扬过我们呢!

  主持人:总之,上数学课就是一种享受!天已经黑了,今天的座谈到此结束。

  

  

   四、课后记

  限于篇幅,我们仅对以上所作的两个测试作一点简短的分析。

  

   1.基础知识检测结果及分析。

  知识点经分解统计并制表如下:

  

  注:“√”表示有此项。

  结果分析:把两个概念一个公式拆分成8个知识点,8个学生的平均识别率为46/64≈71.88%,最高识别率为100%,最低识别率仅为37.5%,抛开学生发起的这个测试的科学性不谈,测试结果是值得我们关注的。改革的目的是为了培养学生的创新精神和实践能力,但绝不能以牺牲“夯实三基”为代价;同时,培养能力,提高素质绝非一朝一夕之功,我们不能把短期的应试结果作为衡量改革成败的惟一标准,否则任何改革都注定难逃中途夭折的命运。

  

   2.调查问卷的结果及分析。

  

  调查结果:

  从调查结果看,学生从整体上对此节课是持“乐于接受”的态度的,我们对此颇感欣慰。但是仍有许多问题值得我们警醒。如“有28.25%的学生不拥有成就感,我们对学生当前发展区的估计及问题设计的梯度是否欠妥?有30.36%的学生认为合作学习不充分,我们能否更合理更科学地安排时间或对某些学生进行更有针对性的指导?有28.57%的学生认为教师上课时没有关注过他们的感受,我们能否再博爱一点?有32.14%的学生认为只须记住概念和公式,并能用它们解题就可以了, 我们能否将教育改革的目的、理念与宗旨向学生作更为明确、清晰的渗透?当然也有客观因素的制约。如,班容量过大,作为长期的“应试教育”的“受害者”,学生的学习习惯与学习目的都带有明显的“应试”的烙痕,等等。但我们坚信,只要努力,我们一定能做得更好!

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