简析新教材中《不等式》内容的变化与特色

全文总计 3685 字,阅读时间 10 分钟,快速浏览仅需 2 分钟。

内容摘要:2000年秋修订后的试验修订版教材(以下简称修订版教材),其特点是“更加注重遵循学生的认识规律,展示知识的形成过程,启发引导学生自学,力求知识面的拓广,重视知识在实际生活中的运用,结构多样化,富有启发性、趣味性。”与全国统编教材和1998年两省一市的试验教材(以下简称98年版教材)

GB/T 7714-2015 格式引文:[1].简析新教材中《不等式》内容的变化与特色.[J]或者报纸[N].中学数学研究,(04)

正文内容

  2000年秋修订后的试验修订版教材(以下简称修订版教材),其特点是“更加注重遵循学生的认识规律,展示知识的形成过程,启发引导学生自学,力求知识面的拓广,重视知识在实际生活中的运用,结构多样化,富有启发性、趣味性。”与全国统编教材和1998年两省一市的试验教材(以下简称98年版教材)相比,有些章节作了较大的删减和修订,使得修订版教材更加精简实用,更切合中学的教学实际和素质教育的要求。在适当降低难度的基础上,强化学生的应用意识及创新能力,这些变化更加体现了新教材(指98年版和修订版教材)的特色。下面以《不等式》一章为例,对这一章内容的变化与特色作一简要的剖析,供同行参考。

  

  

   一、删减得体,要求降低

  新教材在保证培养学生的“三基”(即基础知识、基本技能、基本能力)的前提下,对本章的相关内容作了较大的修改,从而改变了旧教材中要求偏高、偏深、内容陈旧、知识面窄、重视应用不够等现状。具体表现在:

  

   1.1 精简了内容

  《不等式》一章的例题由原来的23个减少为17个;新教材删去了原不等式证明中的定理2 及其推论(即三个正数的算术平均数不小于其几何平均数),但把算术平均数与几何平均数定理单独列为一节,以突出其重要作用,此外,还在后面的阅读材料“n 个正数的算术平均数与几何平均数”中作了进一步阐述;删去了指数、对数不等式以及无理不等式的求解,只要它们在未知数的取值范围内都可转化为整式不等式求解;删去了解高次不等式按零点分区间讨论确定解集的方法。相应地,修订版教材对一些例、习题作了删减或修订。与98年版教材相比,修订版教材中的零点分区间讨论确定解集的方法既复杂又繁琐,计算量也大,若结合图象,用“数轴标根法”求解,学生一点就通,况且这些内容的学习与后继内容的学习基本上没有关联。将这些内容删去,既大大减轻师生负担,又使教材显得紧凑、实用,难易搭配趋于合理。

  

   1.2 减少了课时

  《不等式》一章与其它各章一样,由于内容的精减,所用课时也相应缩减。由原教材的22课时,在新教材中缩减为大约16课时。其中,6.1节“不等式的性质”现为3课时,而统编教材中, “不等式及不等式的性质”共占5课时;6.2节“算术平均数与几何平均数”2课时,加上6.3节“不等式的证明”共计5课时,而在统编教材中上述两节内容是混在一起的,共用7课时,缩减了2课时;6.4 节“不等式的解法”由原来的5课时减为3课时;6.5 节“含有绝对值的不等式”新旧教材难易相当,仍维持2课时。

  

   1.3 降低了难度

  不等式的证明方法灵活多变,技巧性强,历来就是中学数学中的难点。修订版教材采取删除繁杂例题,降低字母指数和变元个数等方法,使学生易于接受和掌握。例如,“不等式的证明”中的例3, 原题为:“求证:a[5]+b[5]>a[3]b[2]+a[2]b[3],”现改为“求证:a[3]+b[3]>a[2]b+ab[2],”字母指数降低了,证明难度也随之降低。对不等式的证明方法,新教材着重介绍了几种常规方法,如比较法(作差和作商比较)、综合法、分析法、均值不等式法等。另外,对含绝对值不等式的证明,还介绍了放缩法(考虑到放缩法技巧性很强,教材只以不等式性质定理的形式予以介绍),这些方法以前三种方法为基本方法。而在统编教材中,关于一元二次不等式的判别式方法占有重要地位,而且对上述三种基本方法平均使力。例如在例题安排上,统编教材用比较法的例题有2个,用综合法的有3个,分析法有3个;而在新教材中, 用比较法的例题有4个,用综合法、分析法的例题各有1个。这表明新教材对不等式的证明要求的难度大为降低,由对三种基本方法平均使力改为侧重比较法。

  在不等式的解法中,只举了两个解分式不等式及绝对不等式的例子,而这两个例子用的都是可转化为一元二次不等式组来解的常规方法,说明修订版教材更加突出不等式证明和解法中的通性通法。删除高次不等式和无理不等式的求解,使得这一章教材的整体难度降低,学生学习起来将相对不再吃力。尽管教材的难度略有降低,但教材中包含的数学思想和方法无一或缺,这些通性通法对学生后继课程的学习具有重要的意义。

  

  

   二、辞旧迎新,强化应用

  修订版教材除了对本章的一些内容作了一定的删减之外,还本着“基础性、全面性、文化性、层次性、实践性”等基本思想,对一些内容作了必要的修订和增补,使新版教材注意了与初中知识的衔接,突出培养学生的创新意识和自学能力,强化了学生的应用意识。

  

   2.1 注意了与初中教材的衔接

  在98年版教材中,许多内容已经注意了与初中知识衔接,这在“不等式的性质”一节中尤其明显。在此基础上,新版教材又作了改进。如修正了98年版教材在对二个正数的算术平均数不小于其几何平均数的几何解释,原版中求线段CD的长用的是射影定理,而这个定理在初中教材中是没有正式出现的,因而修订版教材中改用了“两三角形相似对应线段成比例”的知识求得,体现了初高中教材的连贯性。

  

   2.2 增加了不等式应用的内容

  由于不等式具有变换灵活、应用广泛的特点,它象一根红线,把中学数学的各分支内容串联起来,以这部分知识为核心编拟的应用题更是历年高考的热点。为加强不等式在实际生活中的应用,新教材增加了不少不等式应用方面的内容。例如,本章的章头篇就增添了一个求水池最低造价的问题,激发了学生应用本章知识解决实际问题的强烈愿望;6.3节增加了两个应用题,例4是比较甲、乙两人行走时间长短的问题,例7是若截面周长相等,比较水管的截面是圆形与截面是正方形的水流量大小问题。相应地,在课后习题、复习题中也配有若干不等式应用的习题。从这三个新增加的例题来看,它们都是现代社会生活中,学生经常接触且易于体验的问题,突出反映了教材编写者们培养学生学数学用数学的强烈意识。为达此目的,教材一改过去的编写体例,在章头篇中就提出水池设计造价的问题,以激发学生的学习欲望。在学习完算术平均数与几何平均数定理之后,再要求学生运用所学知识解答先前提出的问题。这不仅使学生加深了对所学知识的理解,而且让学生亲自体验了数学在现实生活中的应用,增强了学生学数学用数学的意识和创新能力。

  

   2.3 充分利用教材边幅对疑难进行透析

  修订版教材把版面改为大16开后,在98年版教材的基础上,更加充分地利用了教材边幅,进一步加强了对教材疑难的分析或注释,这给学生的自学带来了方便。教材中的这些空幅不仅方便学生做学习笔记,而且还通过注解或想一想方式,对教材中的疑难,学生学习中易忽视的问题或需要进一步加深的问题加以注释或设问,一方面可引起学生的注意,另一方面也诱发了学生的探究动机,使学生对教材的理解更进一步。本章中提示学生“想一想”的地方有五处,即教材P4、P6、P13、P16、P20,主要涉及不等式字母的取值范围与证明思路;教材在P5 给出了“同向、异向不等式”概念的界说,P9将平均数定理置换于等差、等比中项。与此形成鲜明对比的是,98年版教材虽也有空幅,但仅有一处在教材边幅中加了注解。这些注记显然有助于学生加深对所学内容的本质理解,起到了类似于“小老师”的作用。

  

  

   三、主要内容及其数学思想方法、习题等相对稳定

  修订版教材虽然与统编教材相比变化较大,但与98年版教材相比变化不太大,主要是去掉了无理不等式,并把6.3 节后的阅读材料“用数学归纳法证明不等式”移至别的章节,其它内容的调整前面已有阐述,在此略过。但不管怎样变,主要的学习内容及其数学思想方法、习题内容及容量等是相对稳定的,只是在教材内容的编排上进行了调整。

  

   3.1 习题配备

  全章各节习题的配置,统计如下表:

  

  由上表可以看出,三个版本的教材在习题总量上相差不大,但新教材在每节教材的后面,跟着就有练习,体现了循序渐进的教学思想。而且,新教材在习题难度上有所降低,特别是本文前面所谈到的不等式的证明及解法问题,涉猎的方法明显较少,也回避了一些繁难的习题。另外,有些习题也有意增补或遗留了一些常用的方法或结论。例如,习题6.2中有一道题是:“已知a、b都是正数,求证:当且仅当a=b时等号成立。”我们知道,上题中的四个量依次是调和平均、 几何平均、算术平均和幂平均,这个连续不等式在研究与平均数有关的问题时,是一个有力的运算工具。

  

   3.2 数学思想方法

  由于学习内容的相对稳定,因而作为数学精髓和灵魂的数学思想方法也随之相对稳定。与统编教材相比,新教材在《不等式》一章中包含的数学方法略有变化,而其中蕴涵的数学思想则基本不变。一些常用的数学方法如分析法、综合法、反证法等不但没有削弱,反而得到了加强;统编教材中的判别式法运用较多,而新教材则对此有所淡化;用数学归纳法证明不等式是统编教材中的重要内容,而98年版教材则把它放至于“阅读材料”中,在修订版教材中又移至别处,等等。在新旧教材中的《不等式》一章中,中学数学中的四大数学思想都有体现,在此不再赘述。

参考文献

〔1〕普通高级中学课本《数学》高二上)及《教学大纲》(必修)

〔2〕普通高级中学课本《数学》高二上)及《教学大纲》(试验版·必修)

〔3〕普通高级中学课本《数学》高二上)及《教学大纲》(试验修订版·必修)

〔4〕宋振苏“关于新教材中〈立体内何〉内容的几点变化的思考”.中学数学研究,2002年第6期

推荐10篇