数学探究式教学的目标定位与路径选择

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内容摘要:开展数学探究式教学的必要性已成共识,但教学观察与调研表明,在数学课堂上,大部分学生数学探究精神匮乏、探究能力低下,对探究的策略与方法十分生疏,教师因学生探究费时和教学用时紧张,无法给学生腾出充裕的思考时间.合理开展数学探究式教学,必须正视以上课堂教学实情,依教情时常开展探究示范教学,让学生掌握探究的策略与方法,依学情在学生探究时点拨激励,助其形成主动探索的能力与习惯.

关键词:探究与发现,探究示范教学,自主探究,适时指导

GB/T 7714-2015 格式引文:[1].数学探究式教学的目标定位与路径选择.[J]或者报纸[N].课程·教材·教法,(20184):59-63

正文内容

  数学探究式教学有助于好奇心智的激发和学习兴趣的提高,有利于理解障碍的排除和认识水平的促进,[1]有益于思维品质的优化与数学精神的养育,其所培植的探究与发现能力,则是科学素养与创新智慧的核心要素.把培养学生的数学探究与发现能力作为数学课堂教学的重要任务,是著名数学教育家弗赖登塔尔曾极力推崇的一个关于数学教育的基本观点.他认为,数学教育应是一种“有指导的再创造”,教师要引导学生不断重复人类数学发现的过程,让学生根据个人的建构与发挥,发现并提出各个数学问题.[2]在国外,上述观点颇受认可,许多数学教育家都曾致力于倡导广大教师在数学课堂开展探究式教学,以培养学生的数学探究与发现能力.

  在国内,开展数学探究式教学的理念广受关注,其必要性已成共识,但大部分教师在尝试跟进的教学实践中仍有疑虑:数学中的大部分知识,都有一个漫长的被发现过程,教师可以轻易说清其来龙去脉,学生却很难在短时间内通过自主探究重新发现.开展探究式教学费时又费力,恐难适合各类测试需求.之所以会有这样的疑虑,是尚未厘清探究式教学概念内涵与外延的缘故.实际上,由学生进行独立的自主探究只是开展探究式教学的方式之一.教学观察与调研表明,当前大部分学生数学探究精神匮乏,探究能力低下,对探究的策略与方法十分生疏,教师因学生探究费时和教学用时紧张,无法给学生腾出充裕的思考时间.在这样的情势下,要更有效益地开展数学探究式教学,必须正视以上课堂教学实情,依教情将教学目标定位为“让学生掌握探究的策略与方法”,选择“时常开展探究示范教学”这一实践路径,依学情将目标定位为“帮助学生形成主动探索的能力与习惯”,选择“在学生探究时点拨激励”这一实践路径.

  一、依教情时常开展探究示范教学,让学生掌握探究的策略与方法

  什么是探究式教学?按照通常说法,它是指教师在学生学习时,只给学生某些问题与事例,让学生在观察、实验、讨论和思考后,独立探究,自行发现知识结论的一种教学方式.这种释义将“探究式教学”的概念完全等同于“探究式学习”,近乎弃而不顾“探究式地教”的一面.以此开展数学探究式教学,必然会使课堂落入以学生个人探究为主的旧套,违背教师因学生探究费时和教学用时紧张而无法给学生腾出充裕思考时间的课堂教学实情,让大部分习惯于“听讲”模式的学生学无所成.

  让学生能进行独立的探究与发现,是数学教育教学最理想的一个目标,但这个目标很难一蹴而就.大量课堂教学观察表明,当前大部分学校的学生,只习惯于“听讲”模式下受教,缺乏进行数学探究的方法与经验,如果没有在教师的探究示范教学中学习一些探究方法,就会在贸然开展的自主探究学习中不知所措,一无所成,浪费掉所有的时间.回顾历史上多位培养了许多数学英才的数学教育家的课堂教学方式,可以发现,大部分数学英才也是在他们“探究式地教”中学会探究的策略与方法,并为日后的研究工作打下厚实基础.因而,开展以学生个人探究为主的教学,必须以日常课堂开展大量的探究示范教学为前提与基础.

  通过“探究式地教”,给学生做探究示范,让学生掌握数学探究的策略与方法,是开展探究式教学的重要方式,也是培养学生数学探究与发现能力时不可缺少的方式.“教育就是一棵树摇动另一棵树,一朵云推动另一朵云,一个灵魂唤醒另一个灵魂”(雅斯贝尔斯),一位富有数学探究经验的教师,可以将探究的经历与心得体会融进课堂,让课堂充满耐人寻味的观点,可以采用实验、归纳与类比等合情推理方式重现探究与发现过程,让学生在耳濡目染中掌握探究的策略与方法,并逐步形成主动探索的能力与习惯.“直觉用以发现,逻辑用以证明”,数学的探究与发现更依赖直觉思维,与其他教学方式相比,探究示范教学让教师更有机会向学生展示直觉是怎么回事,展示他遇到复杂问题找出路的能力,可以让学生更有机会应用合情推理进行大胆猜想,因而可以更有效地培养数学发现能力,启迪数学智慧,让数学教学成为一种理智与情感、逻辑与直觉相互融合的教有创意学有新意的教学.[3]

  探究示范教学更易于让学生发现新旧知识的各种联系,促使各个新的知识不断融入学生原有的认识体系,让学习变得更有意义.学生要为各类测试构筑扎实牢固的知识基础,就必须比较全面地理解各个概念知识间的联系,因而,设计恰当的探究示范教学可以更适合教情,更适应测试需求.由于数学教材大都是按知识的逻辑关系进行单脉编排,在章节单元教学中,经常无法揭示许多知识间错综复杂的联系,所以在复习中设计一些探究式教学专题,可以进一步帮助学生厘清许多知识的关系与结构.例如,在高三总复习教学中,将“点到直线的距离公式的推导”作为探究式教学专题,不仅可以揭示众多知识的关系达到综合复习的目的,还可以在培养学生探究能力的同时培养学生的运算与推理能力,因而是一个比较适合教情且适应测试需求的选题思路.

  依教情进行探究示范教学的设计,要尽力给学生腾出更多的思考时间,还要适时巧加点拨使教学环节更紧凑,努力让学生在学好探究策略与方法的同时,运算与推理等解题能力也能得到显著进步.以设计“点到直线的距离公式的推导”复习探究专题为例,在教学导入时,教师先提出问题:如下图,已知坐标平面xOy上的直线l不与坐标轴垂直,求坐标平面上任一点到直线l的距离.即便许对此问题的记忆已模糊,也大都能在图中过点P作出与直线l垂直的线段PQ,并拟出计划:求出直线PQ的方程,与直线l的方程联立后求出点Q的坐标,进而求出|PQ|.学生书写具体解答时大多会出现运算错误,教师应通过板演示范予以订正,而后指出:“在这个思路中,是方程组求解与两点间距离公式应用使运算量增大,怎样绕过这些运算?”有许多学生还需要教师进一步作更具体的启发,比如:两点间距离公式在两点连线与坐标轴垂直时有简单的形式,那么,是否可以类似于物理受力分析,将线段PQ分解成与坐标轴垂直的线段?至此,一些学生已懂得过点P作两坐标轴的垂线,写出其与直线l的交点M、N的坐标,求出|PM|、|PN|,然后采用面积法求出|PQ|.

  

  在日常课堂经常开展探究示范教学,可以让学生掌握探究的策略与方法.我们可以将数学教育家波利亚“怎样解题”的内容简化为四个策略原则:系统原则、多变原则、正合原则、缜密原则.[4]以上给出的“点到直线的距离公式”推导方法,都是将问题置于解析几何的直线方程知识系统进行分析,在解决一个数学问题时,将问题置于某个知识系统进行考察,寻找与之相关联的公式定理,运用的是数学探究策略的系统原则.后一思路为简化运算使用了化斜为直的方法,体现了数学探究策略的多变原则:数学问题的解决都需要不断地进行命题变更,进行因果、数形、整零、和积与动静等的转换,将其向更简易的问题化归.

  开展探究示范教学,需要教师将教材内容设计为探究式,在数学知识生成的过程中发现恰当的探究素材,富有创意地设计各个探究式教学活动,同时还需要教师有很强的探究发现能力,能平中见奇,推陈出新.例如,继续联想与“点到直线的距离公式”推导有关联的知识,教师应还能从图形特征进行联想,将问题置于三角函数知识系统进行分析:设直线l的倾斜角为α,易求出cos∠MPQ与|PM|的值,从而可求出|PQ|;还能将问题放置在与向量有关的知识系统中进行分析:设点Q(x,y)为直线l上的任意点,求出向量在直线l的某一法向量的投影,即可求得点P到直线l的距离.

  二、依学情在学生探究时点拨激励,助其形成主动探索的能力与习惯

  时常开展探究示范教学,为的是让学生能进行独立思考与自主探究,但这个目标的实现过程往往是漫长的,不可操之过急.当前大部分学生数学探究精神匮乏、探究能力低下,对探究的策略与方法十分生疏,尚需学习各种探究方法,学会独立思考以逐步形成主动探究的能力与习惯.只有时常开展探究示范教学,教师的探究示范与学生的自主探究才会逐渐交织成一个互相促进的统一过程:在探究示范教学时,教师能腾出时间让学生独立思考与自主探究;在学生自主探究时,教师能给部分有困难的学生进行点拨与激励,或更细致地进行探究示范教学.

  学生在探究示范教学中学习了探究的策略与方法后,还需要学会独立思考,不断积累探究思维活动经验,随着学生主动探索能力与习惯的逐渐养成,其数学的探究与发现能力方可得到不同程度的提升.[5]即便学生已具备一定的探索能力,其在数学课堂上进行的个人探究活动仍大都需要教师的指导,也就是说,教师大都应在学生遇到困难时予以点拨,而不能只做一个袖手旁观的看客.况且,同班学生的数学学习与研究的水平通常会有很大差异,即使某些学生能通过个人的自主探究取得结果,仍可能有相当多的学生因各种理解障碍需要教师的点拨或探究示范.

  

  学生在独立思考与自主探究过程中,会遇到各种不同困难,大都需要教师给予情感与精神层面的激励.教师恰当的激励有驱策与勉励之效,可以点燃学生自我超越的热情,激发并释放其内在潜力,从而能增强学生思维的积极性与创造性,使之养成乐于思考、勇于探究和不回避困难的数学精神.数学精神渗透在所有数学思维活动中,它是关于数学思维的方式与规范、价值与追求等意向性心理的集中表征,是人对数学经验、知识、方法、思想、意识、观念等不断概括和内化的产物.数学精神是数学素养体系的核心,也是其他数学素养形成和发展的主要动力.在学生探究时,教师善于渗透数学精神,有利于学生情与智的协调发展以及数学素养的内化与升华,体现探究式教学在育人方面的意义与价值.

  激励的方式多种多样,许多时候,恰如其分的肯定与赞美可以极大地增强学生的探究愿望,是一种鼓舞学生努力上进的有效激励手段.在学生的自主或合作探究过程中,教师可以对学生的课题选择、研究方法、推理过程、分工合作与资料收集等表示肯定与赞美,还可以让出一些课堂教学时间鼓励学生发现并提出一些数学问题,或通过口述或板演详细展示探究成果,然后从学生发现问题的敏锐性、广阔性、批判性、深刻性与创造性等角度进行评价、肯定与赞美,只要是教师发自内心的赞美,都会赋予学生一种积极向上的精神力量,正如苏霍姆林斯基所说的:在人的心灵深处,都有一种根深蒂固的需要,那就是希望感到自己是一个发现者、研究者和探索者.

  如何帮助学生学会独立思考逐步形成主动探索的能力与习惯,是数学课堂培养学生探究与发现能力的关键问题.如果学生探究费时和教学用时紧张等问题比较突出,教师在课堂开展探究示范教学时难给学生腾出独立思考的时间,就必须认真考虑如何利用课外学习时间的问题.可以尝试从课堂探究式教学内容中引申出一些问题留待学生课后思考.为了让学生在课后能积极主动地探索,有进一步深入思考的愿望,留待思考的问题应能激起认知冲突激活好奇心智,对学生思维具有某种程度的挑战性.例如,在上述复习课例中,教师可以让学生在课后继续寻求新的证法.如果有所提示,一些学生就有可能将问题置于直线参数方程的知识系统中思考,得到以下思路:写出过点的一条直线的参数方程,将它与直线l的方程联立求出t,再利用公式得到结论.[6]

  增强学生独立思考能力与主动探索精神的根本方法,是要提高学生数学学习的兴趣与爱好.从数学精神与思维的层面提高学生的数学文化素养,增强课堂的数学文化氛围与数学艺术特性,[7]发挥数学本身的力量,是提高学生数学学习兴趣的主要渠道.时常开展探究式教学,选择能引导学生深入思考的探究课题,营造和谐的教学环境,开启让学生乐于感受、质疑、探索与猜测的教学空间,注重培养学生的问题意识,提高学生发现与提出问题的能力,也可以提高学生的学习兴趣,使学生逐步养成乐于思考勇于探索的良好习惯.

  帮助学生学会独立思考逐步形成主动探索的能力与习惯,需要教师在课堂上更加突出学生的学习主体性,尽力腾出更多的时间与机会让学生独立思考.但在课堂上,教师还应深入关注课堂教学实情,在开展以学生自主探究为主的教学时不可执意于主体生成,片面排斥点拨激励和示范讲授.点拨激励有助于启发学生的灵感与顿悟,让学生更深入地思考,形成主动探索的能力与习惯,而以讲授为主的探究示范教学也可以让学生学会数学探究的策略与方法.二者都可以让学生的学习变得更有意义,学得主动而扎实.

  探究式教学可以化育创新智慧与科学素养,可以让学生从灵感与顿悟中深刻感受数学之美.[8]深入领悟数学的思想智慧与探索精神,是一种值得研究与发扬的教学方式,这种教学方式与理念由于各种原因并未被真正重视或广泛采纳,即使偶有应用,也总存在盲目与形式化的倾向,大都“形似神非”.长期以来,在应试环境与非科学评价方式影响下,数学教学常被异化为纯应试的解题教学,沦为一种训练,不断重复着“从概念、定理到例题、练习再到习题”的乏味过程,学生“学不入迷”“懂而不会”和“认识低下”已成为数学教学中一直难以消除的普遍现象.[9]笔者认为,在这种背景下合情开展数学探究式教学,有助于抑制和消除上述三个现象,更好地发挥数学教育在育人方面的价值.

参考文献

[1]任伟芳,等.“工具性理解”“关系性理解”和“创新性理解”[J].数学教育学报,2014(8):69-71.

[2]弗赖登塔尔.作为教育任务的数学[M].上海:上海教育出版社,1995.

[3]吕世虎,吴振英.数学核心素养的内涵及其体系构建[J].课程·教材·教法,2017(9):12-17.

[4]王钦敏,余明芳.解数学问题的策略性原则[J].中学生时代,2005(24):28-31.

[5]马云鹏.关于数学核心素养的几个问题[J].课程·教材·教法,2015(9):36-39.

[6]王钦敏.教材边上好数学[M].福州:福建人民出版社,2014.

[7]张天宝.数学文化及其在教学中的渗透[J].教育研究与评论(课堂观察版),2015(5):22-25.

[8]王钦敏.感受数学美的两个重要途径[J].数学教育学报,2014(2):53-56.

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