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副标题:——初中数学综合题审题教学例说

内容摘要:波利亚曾经说过,“掌握数学意味着善于解题”,而“善于解题”的关键之一是“善于审题”。  初中数学综合题涉及的知识面广,背景往往较新颖陌生,已知与未知的关系也较复杂隐蔽,因而审题有一定的难度。不少学生经过大量的解题训练后,仍停留在知识型的水平上,不能形成有效的解题能

GB/T 7714-2015 格式引文:[1].阅读 转译 分析.[J]或者报纸[N].中学数学月刊,(12):7-10

正文内容

  波利亚曾经说过,“掌握数学意味着善于解题”,而“善于解题”的关键之一是“善于审题”。

  初中数学综合题涉及的知识面广,背景往往较新颖陌生,已知与未知的关系也较复杂隐蔽,因而审题有一定的难度。不少学生经过大量的解题训练后,仍停留在知识型的水平上,不能形成有效的解题能力,其原因之一往往是缺少必要而有效的审题教学,不善对解题进行分析。

  笔者认为,在审题教学中,强化对问题的条件和解题目标的阅读理清、转译改造、审视分析的训练,不仅能提高学生的审题能力,也能增强他们分析问题、解决问题的能力。

  1 仔细阅读,弄清题目的条件和结论

  读题是解题的第一步,只有弄清问题的全部条件及其结构,弄清解题的目标,才能获得完整、清晰的印象,明确解题的方向。在教学中应注意引导学生弄清以下几点:

  1.1. 弄清条件的结构、层次

  例1 (河南省1992年中考题)

  已知a、b、c分别为△ABC中∠A、∠B、∠C的对边,并且方程2ax[2]+2bx+c=0有实根。

  (1)若△ABC中,∠B=90°,方程有两个相等的实根,试进一步判断△ABC的形状;

  (2)若△ABC中,∠A=∠C,方程有两个不相等的实根x[,1]、x[,2],且|x[,1]-x[,2]=1,求△ABC中∠B的度数。

  例2 (黄岗地区1995年中考题)

  已知二次函数y=mx[2]+(m-1)x+1的最大值为k,其图象与x轴交于(x[,1],0)、(x[,2],0)两点,且(x[,1]-x[,2])[2]=x[,1]+x[,2]+10。

  (1)求m和k的值;

  (2)在△ABC的边BC、AC上分别取点D、E,使BD/DC=CE/EA=k,设BE=14,BE与AD的交点为F,求作以BF、FE为长为根的一元二次方程。

  综合题的条件往往较复杂,分清其结构关系,才能正确运用。上述两题都是分两小题提出问题的。但条件的结构不同。例1是在给出总条件“方程2ax[2]+2bx+c=0有实根”后,再分两路分别进一步给出子条件,并提出相应的问题的。这两个小题之间没有关系,两个独立的问题可以分别处理。例2中两个问题是互相关联的,后一小题的条件是在前一题条件的基础上的进一步增强,因而必须先解决了第(1)小题后才能解决第(2)小题。

  1.2 弄清关键的条件

  例3 (徐州市1995年中考题)

  如图1,二次函数y=x[2]-(m-3)x-3m的图象与x轴交于A、B两点(A在原点左侧,B在原点右侧),线段OA、OB的长度为a、b,

  (1)若a>b,求m的取值范围;

  (2)若a:b=3:2,求m的值,并写出这时函数的解析式。

  

  综合题中的条件一般较多,抓住其中的关键条件往往能为解题提供方向。例3中除了一些交代性的条件外,第(1)小题的关键条件有两条:一是二次函数的图象与x轴交于原点两侧两点,二是a>b,抓住这两个条件就可以得到关于m的一组限制条件:△=[-(m-3)][2]-4(-3m)>0,,-3m<0和m-3<0,从而能确定m的取值范围,本例容易忽略的是第(1)、(2)两小题的关联性(a:b=3:2是a>b的特例)。

  1.3 弄清图形条件

  例4 (苏州市1994年中考题)

  

  如图2,△ABC中,∠A=60°,∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c,延长AB到P使AP=2AC,以C为圆心,AC长为半径的圆与以B为圆心,BP长为半径的圆相外切。

  (1)若BP=r,求a:b:c;

  (2)若关于t的方程3t[2]-3ct+(a+b)=0的两个实根α、β满足关系式α(α+1)+β(β+1)=(α+1)·(β+1),求△ABC的面积。

  审读题图是审题中容易被忽视的一环,仔细“读清”题图,往往能直观地展示一些较隐蔽的条件,如例4,仔细读图后可知,图中各线段均可用b、r表示出,从而可知△ABC中的边角关系已确定,故可由余弦定理建立关于b、r的方程,从而可解出b=f(r),进而可用r表示出a、c,解出(1)。

  2 适当转译改造,沟通条件与结论的联系

  综合题的某些条件在题中的地位非常隐蔽,难以直接得知它们在解题中的作用。适当改造题设条件,使之向结论靠拢,能暴露条件的作用,凸现解题方向,“转译改造”时应该注意以下几点。

  2.1 “转译改造”应注意将条件公式化、符号化,使之便于推理

  例5 (江西师大附中1995年中考模拟题)

  已知抛物线的对称轴是直线x=1,在x轴上截得的线段长是4,且与过点(1,-2)的直线有一个交点是(2,-3)。

  (1)求直线与抛物线的解析式;

  (2)设抛物线与x轴的两个交点为A、B(A在B的左边),点P在直线上,若△ABP是直角三角形,求点P的坐标。

  (3)若(2)中∠APB是锐角,试确定点P的横坐标的取值范围。

  例5题干中的条件用文字表述,看不出其与结论的联系,但将其公式化后,可以得到下面一组关系式,(先设抛物线的解析式为y=ax[2]+bx+c)

  对称轴为x=1-(b-2a)=1,

  线段AB长为

  抛物线过点(2,-1)4a+2b+c=-1。

  由这组式子可以解出a、b、c,从而(1)得解。

  2.2 “转译改造”要注意使条件和结论互相靠拢,以揭示它们的联系

  例6 (河南省1990年中考题)

  △ABC中,AB=10,外接圆O的面积为25π,sinA、sinB是方程(m+5)x[2]-(2m-5)x+12=0的两个根,其中x≠-5。

  (1)求m的值;

  (2)求△ABC内切圆的半径。

  综合题的条件与结论的关系较复杂,联系不明显,“转译”时注意适当发展条件,“由已知想可知”,改造结论,“由未知想需知”,使条件与结论互相靠拢,便于找到条件与结论的联系,明确解题方向,如将例6的条件适当改造,可以推出一连串新的结论(条件):

  由△ABC的外接圆O面积是25π⊙O的半径R=5AB=2RAB是⊙O直径∠C=90°。

  由sinA、sinB是已知方程的解

  

  解题目标是求m的值,由于不能直接计算出m,推测能否通过建立关于m的方程来求出m?

  回顾推出的新条件∠C=90°,可以进一步发展改造:∠C=90°∠A+∠B=90°cosA=sinB。这个条件与条件(*)联列,可以消去sinA、sinB建立关于m的方程,使(1)得解。

  2.3 “转译”要注意利用图形直观,展示“转译”结果,以强化直观提示作用

  例7 (苏州市1989年中考题)

  如图3,过⊙O内接△ABC的顶点B,作⊙O的切线BD交AC的延长线于D,过C点作CE∥BD,交⊙O于另一点E,交AB于F。

  

  (1)求证:BC[2]=BD·EF;

  (2)设AB=10,AC=12,BC=5,求EF的长。

  由BD切⊙O于BD及圆弧上的圆周角相等及平行线性质,可以推出二组相等角,在图上分别以"*"、“°”标出;则图形提示若干三角形中有两角对应相等,它们相似。另可推知EB=BC,由此,即可证得(1)。至于计算题(2),可由△ABD∽△BCD得出BD:CD=2:1,即可得结果。

  3 多角度审视分析,发掘条件的全部含义

  综合题所提供的条件信息有时是隐含的。多角度地审视条件,挖掘隐含的信息和条件的全部含义,才能沟通条件和结论。

  3.1注意分析隐含的性质、关系,发掘条件的全部含义。

  (河南省1991年中考题)

  

  如图4,已知P为直径是2的⊙O内的一个定点,且,线段AB为过点P的任一弦。且它所对的圆心角∠AOB=2θ,再过A和B作⊙O的切线交于C,设P到AC、BC的距离分别为a、b。求证:a、b是方程2x[2]-(2ABsinθ)x+sin[2]θ=0的两个根。

  综合题中的某些已知对象(如图形、函数),隐含着一些特殊的性质,解题时需发掘出这些性质,创造“新”的条件,如例8,就需发掘⊙O的弦AB的性质。本例证题方向很明确,即往证a+b=ABsinθ①,ab=(1/2)sin[2]θ②。容易由已知条件推出a=PAsinθ③、b=PBsinθ④,从而①式易证,问题在由③×④得到ab=PA·Pbsin[2]θ后,需证得PA·PB=1/2才有②,而由已有条件无法直接推出,注意到AB为⊙O的弦,在⊙O中满足相交弦定理,又,⊙O半径为1,所以若过P作直径MN,则依相交弦定理有,命题得证。

  3.2 注意变换分析角度,发掘隐含信息。

  例9 (哈尔滨1990年中考题)

  已知x[,1]、x[,2]是方程x[2]-(k-3)x+k+4=0的实根,A、B为x轴上的两点,其横坐标分别为x[,1]、x[,2](x[,1]<x[,2]),O为坐标原点,P点在y轴上(P异于O点)设∠PAB=α,∠PBA=β。

  (1)若α、β都是锐角时,求k的取值范围;

  (2)若α、β都是锐角时,α和β能否相等?如果能相等,请说明理由;如果不相等,请证明,并比较α与β的大小;

  (3)若α+β=90°,求P点的坐标。

  综合题的条件有时置于各种特殊的背景之中,难以看出它的意义。如例9中的α、β都是锐角,就难以将其与k的值直接挂钩,需要改变角度进行审视,才能发掘其全部含义。但若作出辅助图形,由图形观察,可以发现,α、β都是锐角,A、B两点分居原点两侧,故其意义也就是所给方程有异号两实根,也就是△>0且x[,1]·x[,2]<0,改写为以已知方程系数表示的形式,即为关于k的不等式,则沟通了与k的联系,问题(1)可解,问题(2)也可以入手。

  审题只是解题的一部份,解数学题是一个复杂的思维过程,学会解题的有效途径是分析解题过程。因此教学中加强分析,持之以恒,日积月累,是能使学生形成真正的解题能力,并且受益终生的。

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