解题分析

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副标题:——分析解题过程的四个方面

内容摘要:当我们进行解题思路的紧张探索时,总是先瞄准某些已经抓住的方向,展开大跨度、粗线条的联想或类比,总想排山倒海般直奔解题目标。这时候的脑风暴无暇顾及更多的细节,也来不及选择更平坦的道路。但是,当思路一旦打通,解法初步得出时,回过头来进行的解题过程分析,有如登上山顶后居高

GB/T 7714-2015 格式引文:[1].解题分析.[J]或者报纸[N].中学数学教学参考,(06):18-20

正文内容

  当我们进行解题思路的紧张探索时,总是先瞄准某些已经抓住的方向,展开大跨度、粗线条的联想或类比,总想排山倒海般直奔解题目标。这时候的脑风暴无暇顾及更多的细节,也来不及选择更平坦的道路。但是,当思路一旦打通,解法初步得出时,回过头来进行的解题过程分析,有如登上山顶后居高临下的俯瞰,也像是经过黑暗摸索之后拉开黑房间的电灯。整个境界已焕然一新,眼睛也更加明亮。

  那么,在这个大好局面中,我们应该迅速而敏锐地抓住哪些方面呢?这其实也就是分析解题过程的第一步——整体分解所要做的主要工作,我们初步总结为以下四个方面:

  1.看解题过程是否浪费了更重要的信息,以开辟新的解题通道。这需要我们重新审视每一个知识点的发散度,特别是要从知识链上对知识内容作多角度的理解(如本刊1998年第4期文《再找自己的解题愚蠢》例2)。

  2.看解题过程多走了哪些思维回路,通过删除、合并来体现简洁美(如本刊1998年第1~2期文《解题教学还缺少什么环节?》例2,本刊1998年第3期文《解法改进的感知》例4、例5)。

  3.看是否可以用更一般的原理去代替现存的许多步骤,提高整个解题的观点和思维的层次(如《解题教学还缺少什么环节?》例1,《解法改进的感知》例1)。

  4.看是否可以用一个更特殊的技巧去代替现存的常规步骤,以体现解题的奇异美(如《解法改进的感知》例2、例3)。

  例1 翻阅最新资料,好几个地方(参考资料[1]、[2]、[3]、[4])谈到了一道老题目的巧解法:

  题目 若(z-x)[2]-4(x-y)(y-z)=0,求证:x,y,z成等差数列。

  下面的处理引自文[1]、[2]、[3]。如展开条件中的左式,整理变形以期达到目的,其做法比较盲目。观察等式,发现其类似于一元二次方程的判别式b[2]-4ac=0,故将等式看作方程

  

  

  

  

  

  

   ①

  有等根的条件。

  再观察①式,其各项系数之和为0,故①式有两等根1。由韦达定理可得

  (y-z)/(x-y)=1.1=1,

  即2y=x+z。该式表明x,y,z成等差数列。

  评析:(1)作为观察,这里已经透过了数式的外形,而深入到它所反映的数学内容,由

  (z-x)[2]-4(x-y)(y-z)=0,

  抽象出它的结构

  b[2]-4ac=0,

  

  

  

  

  

   ②

  并与方程①或

  ax[2]+bx+ac=0

  

  

  

  

  

  

   ③

  相对应,但是,知识的发散度不够。诚然,方程③对应的判别式为②,而②对应的方程并不唯一,如

  

  它们的判别式都是②。于是,用方程观点来处理这道题的好想法被认识上的封闭(默认判别式②与方程③一一对应)所浪费了,由此,产生出一些明显的不足,有

  (2)式①是否为二次方程,需要讨论x≠y;这可以补充说清楚,文[4]对此就比较清醒。

  (3)整个解法用了二次方程的判别式、求根t[,1]=t[,2]=1、韦达定理,解法曲折回肠。在拙著《数学解题学引论》中,讨论了这道题目的5种解法,认为上面的解法所用的解题力量超过它们需要的解题力量,这从下面的另外解法不难对比出来。

  (4)文中认为“展开条件中的左式,……做法盲目”,也是缺乏依据的。由

  

  有 (x-y)-(y-z)=0,

  即 x-y=y-z。

  按定义,x,y,z成等差数列。

  综合上面的分析,为了保留“方程观点”的好念头而又排除种种不足,我们只须作这样的思考:为了证明x,y,z成等差数列,就是证

  x-y=y-z。

  视其为方程的两个等根,有

  [t-(x-y)][t-(y-z)]=0

  

  只须验证方程的判别式为0,而这正是已知条件。

  证明:已知表明,以x-y,y-z为根的二次方程t[2]+(z-x)t+(x-y)(y-z)=0

  △=(z-x)[2]-4(x-y)(y-z)=0,

  从而两根相等,即

  x-y=y-z,

  按定义,x,y,z成等差数列。

  评析:一个好的想法没能表现为一个好的解法,这个好想法就被浪费了。而解题过程的分析能使被浪费的能量又重新显现。

  例2 文[1]P.314例8被用来说明构造解题的思维模式:已知a、b、c为实数,求证:

  

  当(a-2b+c)≠0时,它是一个一元二次方程,且知x=-1是其实数根。故Δ≥0,这就是要证的结论。

  当a-2b+c=0时,不等式显然成立。

  评析:分析这个构造方程解法的实质步骤,我们看到两点:其一出现根x=-1,其二出现判别式,为把这两点联系起来,可对方程①两边乘以(a-2b+c)后配方,得

  

  可以说,这个恒等式列出来就将题目证实了,不用构造方程,也不用讨论二次项的系数。为了便于理解,在书写上可以详细一些。

  证明1:

  为了避开原解法中对二次项系数的讨论,还可以做一点小改进,构造二次函数。

  证明2:作二次函数

  

  故其判别式非负,所证不等式成立。

  评析:不要以为两种解法有什么本质上的不同。对二次函数作配方变形,有

  

  评析:虽然,这个重重叠叠的书写比课本的原解法更严密地掩盖着不等式的本质,但我们依然能省去中间过程而看到

  

  即是说,不等式的解集合等于不等式的存在域,抓住这个本质,可改写为

  另解:原不等式即

  

  可以认为,这是用一个更特殊的技巧去代替现存的许多步骤(作为教科书,最好换一个例子)。

参考文献

1 郑隆炘,毛鄂涴。数学思维与数学方法概论。武汉:华中理工大学出版社,1997

2 邓志萍,解题时应重视对学生联想思维的培养。中学数学杂志(江西),1998,2

3 邓学林。巧构二次方程解题。中小学数学,1998,3

4 彭振浩。例谈用构造方程法解题。中学数学教学,1998,1

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