几何的传统与几何教材改革

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副标题:——ICME9论文评介之四

内容摘要:在第九届国际数学教育大会。(ICME9)上, 莫斯科大学活跃的微分几何学家N.杜勃林教授作了题为《俄罗斯中学里的几何:过去的传统和当前的现状》(Geometry in Russian schools:traditions of pastand state in present)的45分钟报告,该报告以几何教材为主线总结了俄罗斯中学几何近几

GB/T 7714-2015 格式引文:[1].几何的传统与几何教材改革.[J]或者报纸[N].数学教学通讯,(06)

正文内容

  在第九届国际数学教育大会。(ICME9)上, 莫斯科大学活跃的微分几何学家N.杜勃林教授作了题为《俄罗斯中学里的几何:过去的传统和当前的现状》(Geometry in Russian schools:traditions of pastand state in present)的45分钟报告,该报告以几何教材为主线总结了俄罗斯中学几何近几十年的发展历程。笔者认为这篇论文对我国当前进行的基础教育改革(特别是几何课程改革)有积极的指导作用。

  

  

   1 关于几何教学的状况分析

  报告首先重申“几何在生活和教育中的作用是巨大的”。这是由于几何已成为多门学科(物理、晶体形态学、化学等)的基础。利用数学的眼光去理解客观事物的结构特征——完美的视觉映象与令人惊讶的匀称性,这些在作者眼中构成了几何吸引学生思考、学习的动力。

  但同时报告也指出了一个令人担忧的事实:许多国家的学校为了学习其他数学分支内容正在尽力减少几何课程的学习时间。作者认为这种在几何教学上的时间节约并不能改变其他数学分支的学习成功度,同时也使得几何学习十分枯燥。

  与上述情况相反,报告指出“俄罗斯几何教学一直保持了较高水平,即使是在过去十年经济状况严峻的情形下也如此。”同时几何教学的成功也使得俄罗斯在其他数学分支教学中成绩斐然。笔者认为,这一事实说明了在数学中各分支内容并不是此消彼长的关系,而应是相互促进相互协调的关系。教学中只要把握了度,即让几何与各分支在时间、容量、难度等方面保持良好平衡,几何教学就能取得好的效果。

  

  

   2 俄罗斯几何教材的历史沿革

  报告较为详细地梳理了俄罗斯中学近50年所使用过的几何教材,其历史沿革如下:(1)20世纪60年代前近50年里, 俄罗斯所有的学校使用的是由著名学者A.P.吉西略夫编写的《初等几何》。该书写于19世纪90年代,是一本典型的欧几里德演绎性教材,供6~10 年级学生学习使用。另外N.kybkin还为该书配置了一本习题集。当时俄罗斯1~5年级的学生并不学习几何,但在10年级毕业时却具有较高的几何水平,由此可知该教材的教学成效。因此该书在俄罗斯享有很高的声誉,一直被视为最佳几何教材。(2)二战后, 社会的巨大变迁强烈冲击着学校教育与课程发展。60年代苏联兴起了“数学教育改革”,结果如下:a )数学课时由每周7学时减至5学时;b)修正数学课程,大量引入理论概念; c)计算进入10~11年级课程;d)几何采用矢量和笛卡尔坐标构成。此时学校开始使用N.柯尔莫戈洛夫的几何教材。该教材以向量方法、 几何变换为核心思想。但在1977年,改革后第一批毕业生在大学入学考试中表现出的数学技能与知识的下降使得此次改革受到批评。(3 )反改革运动迅速发展起来,学校开始使用A.波戈列洛夫的几何教材。 作者以一套自己设计的“新公理”作为全书的基石,通过演绎方法推出其它几何结论。教材风格非常简练, 但也不可避免显得十分枯燥。 (4 )20 世纪80年代,各学校积极使用由L.阿达纳相编写的几何代数平行教材。这同样是一本十分传统的欧几里德风格教材,并配有一本很好的习题集。它在1988年赢得了全苏联数学教材竞赛第一名。

  从上可看出,俄罗斯几何教材历来较注重演绎与形式化,强调学生的理性思维培养,这也是俄罗斯传统几何教学的特点之一。

  

  

   3 新教材带来的几何课程观念的转变

  报告在最后介绍了由I.V.沙雷金教授和L.N.叶尔冈日耶娃教授合编的新中学几何教材——《直观几何》。N.杜勃林教授在报告中指出“作者强调,学习几何的价值不仅是为了训练思维和它的实际应用,学习几何是因为它的古老、美丽,它已成为人类文化的有机组成部分。”这一观点突出体现出几何教学,乃至整个数学教育的文化功能。

  2001年初,华东师范大学出版社迅速翻译出版了《直观几何》一书。综观此书,使人耳目一新,它不同于前面所述的任何一本几何教材,它放弃了俄罗斯固守了几十年的欧几里德公理化体系,从一个全新的角度——文化——审视几何。这无疑给几何教学注入了新的机制与动力,改变了传统的几何教学理念。对数学文化特征及功能的突出强调,又使几何学习成为了一种文化继承活动。这也是当今数学教育改革的趋势之一。

  《直观几何》一书收集了大量的原始问题,包括学生喜闻乐见的一些游戏、迷语等,这种素材以非形式化的方式呈现出来,可以极大地刺激学生的学习欲望,调动他们熟悉的多种生活经验,促使他们自己主动探索、积极建构。同时也使几何教学由静态的理论讲授转变为动态的活动探索。许多几何结论可由学生在教学过程中通过猜想、验证、调整等步骤获得。

  例1 (火柴问题)用火柴搭成如图1

  a)拿走4根火柴,使之留下5个正方形;

  b)拿走8根火柴,使之留下2个正方形;

  c)拿走6根火柴,使之留下3个正方形。

  例2 字母和词的游戏竞赛:

  a)说出有一条或两条对称轴的字母;

  b)编造有水平或垂直对称轴的词,例如,TOT(小孩),BOX (箱子)。

  

  与《直观几何》提出的教学理念相比,我国现在的几何教学中,学生缺乏直观感知和操作确认的过程,因此对抽象的理论概念的理解及思维论证存在较大难度。学生如能突破此难关便会对几何产生较大的学习兴趣,相反学生会对几何失去信心。这就是几何被称为“双面刃”的原因所在。另外无论优生或是差生,单纯的思辨论证均会使他们形成一些不正确的几何观念。

  联系到我国正在进行的基础教育改革,新编《义务教育阶段国家数学课程标准(征求意见稿)》的基本理念是让所有的学生在学习中都有所发展,体现义务教育的基础性、普及性和发展性。为此课程标准将几何改名为“图形与空间”,力求加强几何课程对学生的亲和力及熟悉度。提出几何学习最重要的目标是使学生更好地理解自己所生存的世界,形成空间观念。另外在几何内容及呈现、活动方式方面作了较大幅度的改革。俄罗斯《直观几何》及我国“图形与空间”设计方面表现出的诸多一致性,显示出几何课程范式变革的一种趋势,这可能是值得我们在课程改革中认真面对的。

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