引导学生在知识交汇处发现

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副标题:——数学发现式教学个案研究

内容摘要:江苏省教委高教科研项目“发现式数学教学模式研究”已经进行了一年多的时间,随着实验的深入,缺少与之相适应的教材已经成为比较突出的矛盾。传统的教材像是“知识集”,陈述式的结构,内容完整严谨,条件充分、结论明确,客观上造成学生没有多少探索的空间和余地,有“无可发现”的感

GB/T 7714-2015 格式引文:[1].引导学生在知识交汇处发现.[J]或者报纸[N].中学数学,(09)

正文内容

  江苏省教委高教科研项目“发现式数学教学模式研究”已经进行了一年多的时间,随着实验的深入,缺少与之相适应的教材已经成为比较突出的矛盾。传统的教材像是“知识集”,陈述式的结构,内容完整严谨,条件充分、结论明确,客观上造成学生没有多少探索的空间和余地,有“无可发现”的感觉。有时甚至可能对教师创设的发现情境形成干扰,使之在一定程度上流于形式。有鉴于此,我们尝试“避开课本事实,引导学生在知识交汇处发现”,取得了较好效果,学生的部分“发现”颇具新意,耐人寻味。现结合几个个案,谈谈具体做法与体会。

  

  

   1 引导学生在不同知识点的交汇处发现

  在不同知识点的交汇处引导学生发现,这一教学策略在基础年级的新授课中可以广泛使用,通常情况下,那些在课本上以孤立的形式出现的知识点往往蕴涵着某些本质的联系,只要把注意引导,学生完全可以利用自己的力量把这种关系揭示出来。这些关系有的是规律性很强的结论,但由于没有“资格”充当“定理”,所以一般不在课本上列出,这恰恰为我们实施这一教学策略提供了机会。而且这样的发现也能填补学生在这一知识体系的空白。

  这类例子很多,例如:二次方程、二次不等式、二次函数就是三个不同的知识点,但它们的内在联系给学生留下了丰富的探索、发现空间,学生可以通过判别式这一纽带发现大量的相关结论;又如:在数列的“通项”和“前n项和”两个

  

  用、非常重要的;再比如:学习了“复数的模”与“共轭复数”以后,引导学生发现“复数与其共轭复数的积等于复数模的平方”,这可是个令人陶醉的结论啊,因为它是架设在虚数与实数之间的桥梁!…

  

  

   2 引导学生在不同知识体系的交汇处发现

  下面的案例是笔者指导一个学生发现平动公式的过程,是一个基于复数和解析几何两个不同知识体系进行发现的例子。其中括号里的文字是笔者添加的说明或评注。为方便起见,分别以S、T代表学生和教师。

  T:我们学习了坐标轴的平移变换,事实上坐标轴还可以旋转, 可惜现在的课本上没有这一内容,有能力的同学可以自己尝试给出旋转变换。(引发意向)

  S:复数的乘法就是“旋转”, 所以我利用它来进行坐标系中的旋转变换……(以下内容采摘自该生的自习本)

  求将双曲线顺时针旋转45°后得到的函数式(应当为解析式)。

  

  T:你提供了一个很好的特例,能否将它一般化, 从而建立坐标平面内的旋转变换呢?做好递我看看。

  S:(摘自该生自习本)

  自定义:坐标(系)的轴的长度单位与原点位置不变,只改变坐标轴的方向,这种变换叫坐标轴的旋转。

  新建一个坐标系相对于原坐标系旋转θ(应规定逆时针方向为正),则Z(x,y)对应的向量相对于新坐标系旋转-θ,它在新坐标系

  

  现在我注意到了,刚才的过程可以通过平面几何方法完成。

  从个案可以看出,这种教学策略中,由于“发现”需要涉及不同的知识体系,其过程有时经历数天甚至几个月,所以实施起来有一定的难度。除了需要预先谋划、还要有足够的耐心。实践表明:该策略更适合个别化教学。

  

  

   3 引导学生在不同学科的交汇处发现

  引导学生在不同学科的交汇处发现,实际上是培养学生对不同学科的“相互利用”能力,这种高层次的,强调学科融合、学科渗透的教学策略正越来越受到人们的关注。它对拓宽学生的思维空间、使他们形成宽广厚实的基础知识体系尤为重要,而且与开设综合性课程相得益彰。实施该策略并非难事,需要教师创设特定的情境作为基础。

  例如,有这样一段话:某人从家中出发,到距离30公里的朋友处办事,他保持匀速前进,一小时走完了一半路程,这时他呆在路边的公园里休息了一个小时,然后以匀加速运动用一小时走完了余下的路程。在物理学里表述这样的一段话并不难,可以列表,可以建立分段函数,可是我们的一个同学却用的是数学图象语言,表达的既清楚又生动,如图1。

  

  在“数学发现式教学模式研究”的实验过程中,笔者曾试图把发现法引进研究性学习,有一次对一个演示现象进行数学化时,和同学们一起得到了如下结论:对于抛物线x[2]=2py(p>0)的长度固定(设为a)的一条弦,长度不小于通径的,当且仅当过焦点时,其中点到x轴距离最小;而长度小于通径的,当且仅当平行于x轴时,其中点到x轴距离最小。

  在随后对该问题的研究中,我们得到了它的多种解法,但最具魅力的当数一位同学所发现的“物理”方法,我们依然摘录其自习本如下:

  

  

  对于后一条件易证明弦恰过焦点,对于前一条件,当然是指弦与x轴平行了。综上所述,当弦长不小于通径时,它通过焦点时重心最低;当弦长小于通径时,它平行于x轴(这样的弦因为太“短”, 不能够过焦点)时重心最低。从而根据物理学原理证明了原数学问题。

  多好的创意啊!他在随后的题后记中写道:“数理相通,我想其本质似乎是指宇宙与数是一一对应的‘函数’关系,抑或是数学与物理是人们从不同角度认识世界的两种表面迥异但内涵相同的东西。总之它们可以互相证明、变通。如本题,一旦理解了它的物理含义,则它其中隐含的东西就昭然若揭,思路明晰了。”

  发现法因耗费时间、实施难度大而倍受争议,但如果经过我们的努力,获得了学生如此深刻的认识,促使学生形成发现的意识、乐于探索的精神,并逐步培养起发现的本领,那么我们还有什么理由不感到满足呢?笔者以为,引导学生发现,教师在加倍付出汗水的同时,也会因之而充实自己的教育生活。

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