恰当的试题难度,广阔的思维空间

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副标题:——评2001年全国高考数学试卷

内容摘要:2001年高考数学试题以“三个有利于”为指导思想,严格遵循《考试说明》规定,充分体现了“发挥数学作为基础学科的作用,既重视考查中学数学知识的掌握程度,又注意考查进入高校继续学习的潜能”的命题原则,稳中有降,小有创新,突出基础,强调能力。与去年的试题相比,高难度试题比例有所

GB/T 7714-2015 格式引文:[1].恰当的试题难度,广阔的思维空间.[J]或者报纸[N].中学数学月刊,(09)

正文内容

  2001年高考数学试题以“三个有利于”为指导思想,严格遵循《考试说明》规定,充分体现了“发挥数学作为基础学科的作用,既重视考查中学数学知识的掌握程度,又注意考查进入高校继续学习的潜能”的命题原则,稳中有降,小有创新,突出基础,强调能力。与去年的试题相比,高难度试题比例有所减少,基础试题增加;计算量减少,试题的解决途径与方法普遍增多,为考生提供了思考的时间与空间,使学生的聪明才智在解决问题的过程中得到充分的展示,体现了高考数学考素质、考能力的要求。理科抽样均分为96.32,难度系数为0.64, 文科抽样均分为74.72,难度系数为0.50, 比较符合考生的实际水平和师生的承受能力,使高考数学难的形象得到改观,有利于中学实施素质教育。

  

  

   1 抽样统计数据

  

  

  

   2 试题特点

  

   2.1 难度恰当,突出“三基”

  (1)难度恰当,调整到位。作为选拔性考试的高考试题, 必须保持一定的难度,达到一定的区分度,才能有利于高校选拔优秀人才。但如果整体难度太大,也不利于考生正常发挥应有的水平。今年的数学试题,一改近几年“偏难”的形象,整体难度得到控制,特别是理科试题,明显降低了难度,抽样均分达到了96.32,比去年提高了12分左右。选择题与填空题部分,除(12)、(16)两小题以外,难度系数都达到或超过了0.4的优秀水平,体现了小题考基础、考速度的考试要求;解答题部分,减少了各题中的小题的总量,并设置了一定的梯度,变多题把关为两题把关,整体上保持了一定区分度。可以说,今年的数学试题的难度及难度结构调整得比较到位。这样的试卷,有利于考生发挥正常的水平。

  (2)全面考查,突出重点。 试卷对中学数学的主体内容进行了重点的考查,函数、不等式、数列、立体几何与解析几何等的重点内容,保持了一定的比例和一定的考查深度。如函数作为高中代数中最基本、最重要的内容,在理科试卷第(1)、(4)、(6)、(8)、(10)、(18)、(22)题中,从不同侧面进行了考查,考查了定义域、反函数的概念,考查了函数的奇偶性、增减性、周期性、最大值最小值等性质,涉及到二次函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数。立体几何重点考查了线线、线面和面面的位置关系及有关角、面积与体积的计算。解析几何全面考查了直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线,重点又放在解析几何的基本思想方法的考查上。

  试题在突出重点的同时,注意到考查知识的全面性,不回避冷僻。如排列、组合数公式,并不是中学数学的重点内容,往年的高考中,最多出现在小题中,而今年却出现在理科第(20)题。该题是全卷中得分最低、难度最大的试题,错误的主要原因是对P[i][,n]的展开式不很清楚。试题对初中的重要数学知识,也在应用高中知识解决问题的过程中进行了考查。如文科第(19)题,是一个圆内接四边形的面积计算问题,很多考生由于对平面几何的一些性质有所淡忘,一筹莫展,抽样得分率仅为14%,使该题成为全卷得分最低的试题。

  (3)综合程度有所降低,仍继续注重对思想方法进行考查。 试题的知识综合性有所降低,更贴近学生的知识水平与认知水平。一批考题紧扣概念、定义和公式,源于课本(如理科(19)题)。很多考题从定义、性质、公式出发成为该题诸多解法中最为简洁的一种解题方法。

  试题注重考查体现学科特点的基本思想和方法,不是刻意追求“巧法”、“新法”,而是把重点放在最具价值的常规方法的应用上。例如,转化思想沟通了几何与代数的关系,理科(18)、(19)题如果能抓住代数与几何的转化关系,求解过程将变得简捷明了;分类的思想在理科(1)、(19)进行了考查,形数结合的数学思想在第(1)、(2 )、(4)、(7)、(8)、(14)、(18)、(19)题有所应用; 函数与方程的思想在第(2)、(3)、(21)、(22)题有所考查。今年考查的数学方法有换元法、待定系数法、分析法等。

  全面考查、突出重点的命题原则和方向,有利于师生立足于课本,夯实基础,落实“三基”。

  

   2.2 命题以中学熟悉的材料为背景为学生提供了充分展示才能的空间

  全卷除第(12)、(19)、(22)题以外,无论是内容、方法,还是问题的呈现方式,都是考生所常见、熟悉的。在考试心理上以及时间上,都为考生创造了宽松的环境,给学生提供了充分展示能力的时间与空间,而不是限制在狭小的范围内考查学生的能力。在这样宽松的环境下,学生的创新意识和创造能力得到了充分的展示。如理科第(20)题,是一道解析几何论证题,考生从不同的角度出发,从纯几何、纯代数或形数结合等不同思路,利用直线与圆的普通方程、参数方程、极坐标方程,从综合或分析的方法给出了几十种不同的解题方法,使学生的聪明才智得到充分的发挥。

  “展示”与“考查”是两个完全不同的理念。考查是被动的,而展示是让学生在自由空间里,以自己擅长的方式找到解决问题的方法,体现考生的主体性,对素质教育的推动起到不可估量的作用。

  

   2.3 以逻辑思维能力为核心,全面考查数学能力

  今年的数学试题,对考生的数学能力进行了全面的和综合的考查,并注意层次要求上的差别。体现在小题上能否抓住问题本质,以简缩的思维解决问题,从而节约大量时间。大题入口宽,每题都有多种解法,同一大题中的小题层次分明。试题比较有效地考查了考生继续学习的潜能,为高校选拔新生提供了数理素质的可信依据。

  (1)试题将逻辑思维能力的考查置于考查能力的核心, 增加了证明题的份量。理科的第(19)、(20)、(22)均涉及到论证,其他的解答题虽不是以证明题的形式出现,但在求解过程中也有相当份量的说理要求。这些考题的解答需要考生必须具有良好的阅读、观察、思考和推理能力。往年的证明问题侧重于几何证明,而今年却出现了较多的代数证明题。几何证明题侧重于空间想象能力,而代数证明题可以更加突出学生的抽象思维能力的展示,考查了考生继续学习的潜能。

  (2)今年的数学试卷,编拟了以含字母的式的运算为主, 同时兼顾算理和逻辑推理的试题来考查学生的运算能力。如理(18)复数问题,主要考查的是复数运算,在计算(1-i)[3]时, 可以利用立方公式进行展开,但是很多考生因为立方公式不太熟悉,失分情况比较严重,但如果利用(1-i)[2]=-2i,不仅可以简化解题过程,也使正确率大大提高;在求│z-z[,1]│的最大值时,如果能结合复数及其运算的几何意义,可以使得解题思路及其过程得到相应的简化。试题对抽象字母的运算也有较高的要求,如理科(19)涉及到诸多参数,(20)题中出现了多个字母,需要在洞察方向的前提下简化运算。

  (3)在考查空间想象能力方面, 试题体现了对考生作图能力的要求,并注意到对图形的处理与图形的变换要与推理相结合。如第(9)、(13)题,都没有给出图形,要求学生会根据题意正确想象并画出符合条件的空间几何图形,在此基础上,确定所求的角与面积,与往年的立体几何小题相比,空间想象能力的要求有所提高。立体几何大题的位置尽管有所前移(理科第一大题,文科第二大题),但第(Ⅱ)小题所求的二面角是非常规的没有给出公共棱的二面角,要求考生会根据条件先寻求出二面角的棱,在寻求该二面角的平面角时,对考生的识图能力、作图能力、想象能力以及利用图形进行推理的能力都有较高的要求。

  

   2.4 试卷整体结构在保持稳定的基础上,进行了必要的调整

  (1)对全卷的难度布局进行了调整。选择题、填空题降低了难度,侧重于速度测试的功能,要求考生在尽可能短的时间内完成,尽快进入解答题。解答题突出难度测试功能,变多题把关为两题把关(理科(20)、(22),但整体难度上有所降低了。全卷理科均分为96.32,难度为0.64;文科均分为74.72,难度为0.50, 是整体难度调整比较到位的一次考试。

  (2)明显减少开放题型。2000年大题几乎题题开放, 也有很多小题具有探索性;2001年这样的开放题与探索题明显减少,解答题中只有理科(17)题和(20)题具有一定的开放性。

  (3)改善问题的呈现方式。2000年的很多试题, 以表面寻常而实际蕴涵深刻逻辑概念的设问方式提出问题,考生十分不适应,丢分严重;2001年作出调整,问题明确易懂,有利于考生上手,不至于考生因为看不懂题而误入歧途。

  (4)试卷大题的内容编排也作了较大的变化。 如理科立体几何大题首次出现在解答题的第一大题。

  (5)总题量保持不变,但解答题中的小题的题量有所减少, 减少了答题时间,让学生有思考的余地。

  (6)文理有别。文科的试题与理科试题小题基本一致, 但六大题中有三题内容互不相同,并首次出现文理编拟不同的应用问题。

  

   2.5 改革中求创新,试题不乏新意

  选择题(11)、(12),作为选择题的最后两题,属数学应用问题,很有特色,富有新意。由于给出的数学背景新颖,打破了常见题型的框框,因此不少学生思维受阻,未能正确解答。(11)题要求学生具备一定的立体几何知识及空间想象能力,还要具备一定的直觉思维能力;(12)题的关键是阅读理解题意,并且必须具备一定的生活常识。

  文(19)、理(20)、文理(22)也具有一定新意,文(19)虽然有些冷僻,用到了初中的平面几何知识,但所涉及的知识是基本的,所用的方法也很普通,问题解决并不很难。可以利用平面几何知识进行证明求解,也可以利用正余弦定理,用三角知识解决,也有用坐标法、向量方法来解题的。由于问题情境创设新颖,只会记题型背套路的考生束手无策,有效地考查了分析问题、解决问题的能力。理科第(20)题,对抽象符号运算的思维要求高,所蕴涵的方法注意与大学接轨,这能体现能力,拉开距离,有利于选拔;理(22)题由具体函数出发去研究抽象函数,是对继续学习的潜能考查的体现。

  

  

   3 对中学数学教学的启示

  

   3.1 要重视“三基”教学,重视教材在学习与复习过程中的作用

  (1)中学数学的基础知识,是考生进入高等学校继续学习的基础,也是参加社会实践的必备的知识,考查学生基础知识的掌握程度,是数学高考的重要目标之一。高中阶段的知识点共有128个, 对这些知识点的要求有了解、理解与掌握以及灵活运用等四种不同层次的要求。教师必须充分了解掌握每一个知识点的层次要求,才能在教学时正确把握教学的程度。在学习或复习时,一方面要注意知识的全面性。从今年的考题中发现,学生的知识仍有盲点,如一部分考生都不太清楚P[i][,n]的展开式,有的考生连立方公式都不甚了解;另一方面要注意重点知识的理解和掌握。如正弦定理,由于是初中上移至高中的内容,平时教学时挖掘得不够,很多学生只会记忆公式,无法在解决问题中灵活应用。

  (2)在现行的中学数学教材中,数学思想方法蕴涵其中, 相对于知识的教学,数学方法和数学思想的传授只是渗透其间,缺乏系统的归纳总结,没有充分的讲解和讨论。在平时的数学课堂教学中,教师应充分挖掘蕴涵在教材例题、习题中重要的数学思想和方法,通过课堂教学交流,课后学生的自主实践、体验,感受到它的用处,在运用中达到理解与掌握。

  (3)要紧紧依托教材进行高三复习。从1989年以来, 数学命题每年都从课本上摘编和改编一些题目,即以课本的例题、习题为基础进行加工、简化和组合。一些较难的试题也是在挖掘教材的基础上,吸取其思想引申而成的。如今年高考数学理科第(19)题,是教材中某一习题的引申;理科第(22)题,实际上是函数奇偶性与周期性的抽象与推广。

  

   3.2 要重视过程教学,鼓励学生主动参与教学活动

  只有使学生积极参与教学活动,才能使得“三基”扎实,能力培养落到实处。从答卷情况来看,很多考生对“三基”会了、懂了,但是解题时不熟练、不准确;数学思想方法老师都讲了、强调了,学生也练习了,但是解题时想不到、用不上,只会照搬题型,遇到新的情境就束手无策。出现上述情况的原因是在教学活动过程中,没有通过学生自己的思维及活动,把知识、方法、思想真正落实下来,课堂教学过程中仍普遍存在灌输或变相注入式的教学现象。教育观念要更新,教学方法要改革。

  例如培养运算能力,要让学生自己动手,踏踏实实地写出运算过程,不仅要求会,而且要求对。严格的训练是靠平时抓的,特别是高三复习阶段,由于课时紧、任务重,只讲思路而省略过程的做法是不对的。

  

   3.3 要重视加强学生逻辑思维能力的培养

  以“能力立意”是多年来命制高考试题的指导思想,而逻辑思维能力是诸多能力的“核心”,是高考能力考查的重点,也是学生进一步学习的潜能的重要表现。今年也不例外,理科第(20)、(22),文科第(19)、(22),对学生思维能力,特别是逻辑思维能力提出了较高的要求,难度系数分别为0.16、0.37和0.14、0.33。代数证明与几何证明相比,可以更加突出反映考生逻辑思维能力的水平。

  反思平时数学教学,对代数论证重视不够。教材中这种证明题出现得不多,作业又难改,课堂教学过程中有时只是讲讲思路,缺少学生的主体思维,难以形成能力。这方面应引起中学数学界的重视。

  

   3.4 要注意在实践中锤炼对数学语言的阅读理解能力和表达能力

  (1)要使学生正确理解和使用三种数学语言。 数学语言是进行数学思维与交流的工具,也是高考改革创新的重要方面。从考生答卷看,或不理解题意,或表达紊乱,或似是而非。思维障碍的众多表现,往往在于数学语言的差距,数学语言已成为众多学生能力发展的障碍。如理科应用问题中的a[,n],在试题中的含义是表示几年总和, 但相当多的考生受思维定势的影响,同时也没有认真阅读问题的叙述,误认为是每一年的投入(通项)。解答题中的复数问题,也有相当多的考生在进行形数转化的过程中出现错误,错误的原因,有理解的问题,也有表述的问题。在数学课堂教学中,要注意加强三种数学语言——文字语言、图形语言、符号语言的听、读、说、写的训练与培养,既要能够正确理解,又能相互转化;还要能够从普通语言中捕捉信息,将普通语言转化为数学语言。

  (2)要培养学生学会用正确的数学逻辑语言表述解题过程。 数学推理要讲究逻辑关系。如理科第(19)题,很多考生想利用分析法来证明三点共线,但又对分析法所使用的逻辑关系不甚清楚,不会使用分析法的语言链——“要证明~”,“只需要证明~”或“就是要证明~”,最后“因为~成立,所以结论成立”,以至于出现“假设结论成立,~”,以及循环论证的错误情形。课堂教学中,要注重运算和推理的逻辑性,让学生真正理解条件与结论之间的逻辑关系,“悟”出数学证明中所用语言链的逻辑含义,学会证明,学会条理清晰、准确流畅地表达证明过程。

  

   3.5 培养学生多角度地思考问题,是培养学生的创新能力的重要途径

  高考是选拔性考试,每年都有一定的创新,试卷中出现的新的题型需要考生自己独立解决。所以,在数学课堂教学中,应注意培养学生独立思考问题的习惯,独立解决问题的能力。建构主义认为,在具体问题中,知识并不是拿来便用,一用就灵,而是需要针对具体情境进行再创造。只有让学生在学习过程中,通过对新知识、新问题的分析、检验和批判过程,达到理解和掌握,各种情况下的应用并不是简单的套用,具体情境总有自己的特异性,应充分发挥学生的主体作用,从多角度来分析问题,积极鼓励学生的创新思维,并及时地进行交流,充分发挥个体与群体的作用。

  

  

   4 对高考命题的几点建议

  (1)保持稳定,控制难度。今年的高考数学试题稳中有降, 突出了对基础知识、基本方法与基本技能的考查,得到了考生以及中学数学老师的认可与欢迎,有利于中学数学教学改革,有利于中学实施素质教育。希望今后的命题能一如既往,充分考虑学生的实际水平,控制试题难度,达到试题难度与考生水平的匹配。

  (2)在试题内容的编排结构上希望保持一定的变化, 避免中学数学教学及考试的八股风。

  (3)对于今年试题中出现的一些字母或表达式, 为避免考生产生歧异,最好给出必要的说明。如P[i][,n],有相当多的考生误认为是P[,n]的i次方;还有自然对数lna[,n],很多考生不理解它表示什么,从而造成人为的失分现象。

  (4)从江苏考生数学抽样统计来看,今年文科的均分为74.69,考题偏难了些。如第(19)题,由于问题情境新颖,又是以初中平面几何的方式呈现,容易将考生的思维引向平面几何。该题的难度不低于甚至超过了理科相应问题的难度。建议今后命题时能考虑到文科考生的实际水平,适当降低难度。

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