尝试“开放”,探索创新

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副标题:——开放性教学的实践及认识

内容摘要:数学开放性问题在开放的时代应运而生,与之相应的开放性课堂教学模式、开放型教学方式和方法的探索、研究也相继成为全面推进素质教育,深入开展教学改革的热点。要培养学生高层次的思维品质,提高学生发现、提出问题,进而分析、解决问题的能力,在数学学科教学中“引进”开放性问

GB/T 7714-2015 格式引文:[1].尝试“开放”,探索创新.[J]或者报纸[N].数学教学研究,(12)

正文内容

  数学开放性问题在开放的时代应运而生,与之相应的开放性课堂教学模式、开放型教学方式和方法的探索、研究也相继成为全面推进素质教育,深入开展教学改革的热点。要培养学生高层次的思维品质,提高学生发现、提出问题,进而分析、解决问题的能力,在数学学科教学中“引进”开放性问题,尝试开放性教学,研究开放型教学方式方法,开展研究性学习实践是必要的和有益的。本文结合教学实际,从实践与操作层面对上述问题作一些探讨和分析。

  

  

   1 开放性问题的设计

  

   1.1 数学开放题的含义

  何谓数学开放题?至今数学教育界并未形成公认的界定。通常的理解是指“条件”、“解法”、“答案”具有多样性和不确定性的问题。然而,比较而言,笔者更认同如下的观点:

  能激发发散思维,且解决方向(思路)不唯一的数学问题是开放题,数学开放题的基本特征表现为问题解决的发散性和教育功能的创新性;开放性问题不仅仅作为一种问题形式,而更重要的是作为一种教学思想。相对于传统的问题,开放题更强调数学教学的整体性和思维性,更强调解决问题的过程,更强调学生在教学活动中的主体作用。

  

   1.2 数学开放题的设计

  开放题进入高考试题,说明开放题的教学已经有了相当的实践基础。实际上,这些年来已出现了不少的开放性问题,诸如“花坛设计”,“正方体截面”等都是非常经典的案例。一般来说,好的数学开放题的设计往往需要有深厚的实践积淀和数学理论基础,很难一蹴而就。然而教学需要开发和设计大量的数学开放题,以适应不同层次的学生和不同教学内容的需要。因此教师根据教材和已有资料,把传统数学问题改编成数学开放题是必要的,也是可行的。利用“变式”、“变形”、“变情景”等方法就可以自己编制出一些新颖、别致的开放题。

  

  有时,把传统问题中的结论隐去,使其待定或多样化,也可以得到一些开放性问题,如函数奇偶性的教学中,就有

  问题2 既为奇函数,又为偶函数的函数的存在吗?若存在, 试举一例;若不存在,说明理由。

  在此基础上还可进一步提出如下问题:“试探索既为奇函数又为偶函数的函数的一般表达形式”,用以引发思考、讨论,提升对概念的理解,渗透特殊化与一般化的数学思想方法,形成一个较为完备的知识体系。这样,无论对认知结构的构建,还是对思维能力的培养都十分有益。

  我们还可以把一些传统的优秀题目,恰当地赋以情景,进行“包装”改造,设计出一些有质量的开放题。

  例如1994年上海数学会考卷的第21题:

  已知△ABC是正三角形,AB=2,P、Q依次是AB、AC上的点,且线段PQ将△ABC分成面积相等的两部分,设AP=x,PQ=y

  (1)求y关于x的函数关系式;

  (2)求此函数的最值。

  这道题目综合考查了面积公式,余弦定理,函数概念和分式函数最值,是一道很好的传统题。

  若把线段PQ分△ABC,改为一条直线型水渠分三角形地块, 把求函数最值改成为要使水渠造价最低,希望路线最短,或要使水渠成为观光游览线路,希望其最长,这样就有

  问题3 某现代化农业园区有一边长2a的等边三角形地块, 计划分种等面积的经济作物和观赏植物,中间以直线型水渠分隔(不计水渠宽度)。

  (1)为使水渠造价最低,希望它最短,问应如何确定水渠位置, 说明理由;

  (2)若造渠是为观光,乘船游览,希望它最长, 问应如何确定水渠位置,说明理由。

  若把最优的标准隐去,让同学们利用已知情景开放地提出最优的目标,这将更利于问题的讨论开展。若进一步把其中“直线型”的条件去掉,那就构成了开放度更高的开放性问题。

  类比一些相似或相同的数学命题或方法,加以深化和推广往往可以发现更普遍更深刻的数学命题和方法。平面几何中的定理“过直线外一点,有且只有一条直线与已知直线垂直”,在立体几何中考察,就是一个错误的命题,注意到问题的研究范围从二维平面过渡到了三维空间,让平面几何中的点和直线分别对应着立体几何中的直线和平面,于是就得到命题“过平面外一直线有且只有一个平面与已知平面垂直”。这显然还是一个错误命题,因为当直线垂直于平面时就是一个例外。若扣除这种特殊情况,强化条件,就得到立体几何中的一个定理“过平面外不与平面垂直的一条直线,有且仅有一个平面与已知平面垂直。”类似上述方法,替代平面几何与立体几何中的对应元素,还可以得到许多命题,将正确的给出证明:错误的举出反例,并进一步强化或修正条件,使其成为正确的命题。

  问题4 尝试用上述方法, 构造和“发现”立体几何中的一个书本上没有的公式或定理。

  这是一个开放度相当高的问题,留给学生非常广阔的思维空间,如引导得法,可形成一系列“研究性”课题。

  

  

   2 开放性课堂教学模式探索

  好的开放性问题是激发发散思维,培养创新能力的良好载体。开放性问题的教学要求开放式的教学模式与之相适应。即使一般的数学知识的传授,若采用“开放式”教学,可进一步优化课堂教学结构,提高教学效益。笔者在教学工作中尝试探索这种模式,体会到:要努力创设开放式的问题情景,组织学生个体、小组或群体对问题展开讨论辨析,并在这一探究过程中或补充条件或判断结论真伪或探究解题思路,使学习过程成为一种特殊的开放性研究活动。

  

   2.1 概念与公式的教学

  例如,上海市“一期课改”数学教材第十一章中的“直线型经验公式”一节,是以研究举起的物重W和所需用力F之间的关系引入课题的。考虑到直线型经验公式有极广泛的应用背景,甚至还可以描述两个随机变量之间的关系,用于解决生产、生活中的“预测问题”。于是,我设计了开放度更高的问题作为情景引入课题。

  问题5 某中学由于深入开展素质教育,教学质量稳步提高。 近年来,虽然高中毕业生的人数不变,但高考上线人数却逐年增加,具体数字如下:年份:

   1997 1998 1999 2000上线人数: 116

  172

  220

  260

  试预测该校2001年上线人数。

  将问题作为“平面直线”一章学习后的思考题留给同学,然后将同学的答案进行整理,选择有典型意义的解法引导讨论、质疑解惑,在“开放”的情景中推进教学过程,在点评“聚焦”中形成知识要义,从而培养和锻炼学生的思维能力。

  对问题的解答,多数同学是从数学本身特点寻找规律。比如,注意到从左至右,相邻两数字之差依次为56、48、40,据此推测每年增加的上线人数依次减8,2001年应有292人上线。这一方面说明,学生已有相当的观察分析和逻辑推理能力,但另一方面也反映了他们对随机概念还缺乏起码的了解。此时以“影响高考上线人数的因素有哪些?”“前面的推理方法合乎情理吗?”进行启发和质疑。经过思考,多数同学顿悟,很快作出了否定的回答,其中有一位同学断言“2001年上线人数”只有到今年高考以后才能揭晓,现在无法准确测报(多么大的进步啊!)。此时,教师再进一步解惑、点拨:“可以近似预测吗?”“如何近似测报?”使问题讨论逐步深化。当把“坐标法”的思想应用于此问题的解决时,“选点法”求经验公式的思想应运而生,由此得到了多个“公式”,多种预测结果。这时教师可因势利导进一步提出“如何评价各种结果的优劣?”对此问题探索、讨论、争鸣、辨析使课堂气氛空前热烈,达到高潮,使“最大限度地保留原始数据提供的信息”这一最优标准顺理成章地成为结论,同时“平均值法”也就自然产生了。

  学生在上述讨论的过程中,领悟到探索的价值,认识到这种获取新知识的方法与传统演绎方法的差异,体现了群体中的个体优势(因为答案不唯一,并且可以比较优化),鼓励和倡导了创造性思维,开放的目的已经达到,学生的思维被激活,充分体现出开放的活力。

  问题到此,似乎已经解决,然而笔者认为教师在总结点评时,应该提出最优的量化标准问题,引发更高层次的思维,恰到好处地介绍最小二乘原理和方法,使同学们的认知结构更趋合理完善。

  

   2.2 解题教学

  解题是数学教学的一个重要组成部分,对一些具有典型意义的传统题目,采用课堂讨论方式,启发引导学生变换不同的角度寻求解决问题的不同思路和方法,并通过对各种方法特点的对比、反思和辨析,寻求问题的本质解法,进而构建解决一类问题的基本模式。既重视个性特点,鼓励独僻蹊径,标新立异;又要学会对比、归纳、探求通性、通法和一般规律。发散——集中——再发散——再集中,这是培养学生创新意识和能力的一种十分可取的开放性解题教学模式。

  

  论:“等价转换”——利用函数和方程的思想将其转化为“二次方程根的分布”问题或解无理不等式:“数形结合”以及“导数法”四大类的十几种方法,并通过比较、分析,明确各种方法的优点和不足,进而找出通性、通法和特点鲜明的匠心之作……使同学们感受到数学方法论独特的魅力。

  

  

   3 开放型教学方式实践和研究性学习尝试

  

   3.1 开放型教学方式实践

  上海市“二期课改”所提出的基础课、拓展课、研究课、这种多元互补的课程结构和以多媒体网络教学为主要标志的现代化教育技术的应用推广,使我们能够以更加开放的形式和方法组织教学,为不同层次、有不同需求的学生提供更加理想的教学内容,选择更加合理的教学过程,使他们在尝试、探究、实验、学习、讨论交流、反省思辨,拓展、推广中,感受理解知识产生和发展的过程,培养科学精神和创新思维习惯,增强收集、处理信息的能力,获取新知识的能力,发现提出问题、进而分析解决问题的能力,提高数学语言表达、数学思维能力,以及团结协作和社会活动能力。

  在多媒体网络设施比较好的学校,借助于互联网,可以突破时空的界限,充分吸纳国内外的优质教育资源,用以改进教学形式、教学内容和教学方法;借助于互联网,可以实现教学活动各个环节的更广义的开放,进而突破班级授课制的约束和局限,使每个学生都能学到他迫切需要的、感兴趣的数学,在暂时不具备条件的学校,也可充分利用课程、教材改革提供的舞台,通过积极开设拓展课程和活动课,使教学内容和方式方法更加开放。教师可适时根据教学内容的特点,组织多种形式的教学方式进行教学。如活动式(实践模型,调查统计,情景活动)、探讨式(师生共探,多向交流)、启发式、学生提问式、讨论“会诊”式等,使学生在自主的氛围中,展现解决问题的探索过程、思维过程和解决策略,充分发挥学生的主动性、探索性、创造性,提高学生的学习情趣及高层次的思维,以促进数学素质教育的开展,目前正在试验推广的研究性学习活动正是开放型教学方式最璀璨的亮点。

  

   3.2 研究性学习的尝试

  去年,我们在研究课板块中,开办了数学研究班, 以前面的问题4为例引发思考、探索创新。通过类比、猜想和归纳,提出并形成了一些有丰富内涵和意义的课题,而后采用自愿结合,分组“承包”的形式,协作攻关,集思广益,经过不断地交流、反驳、思辨、修正和证明,最后形成了一批“成果”,以小论文的形式总结出22个立体几何书中的没有的公式和定理,其中包括直四面体的“勾股定理”,四面体中的“余弦定理”和正四面体的三心合一定理等有一定价值的成果。在此项研究过程中,学生用以猜测、发现、论证问题时的“工具”——图形类比、“维数升级”(学生语:系指平面和空间的一种元素间对应。如平面上的点对应着空间直线;平面上的直线对应着空间的平面……)、“多元类比”(学生语:系指同一问题中,采用不同的类比方法)和方法类比,标志着他们对类比的理解和把握已达到了相当高的层次。有一个课题组还把这种类比方法应用到对“超立方体”的研究,用三种不同的方法猜测和“发现”了超立方体的基本结构(顶点数、棱数、对角线数、二维和三维面数),甚至独具匠心地利用“相似投影法”和“维度扩张法”构建出超立方体的模型,令人赞叹不已。

  另有一个课题组,长时间思考异面直线的形象描述问题,提出“与已知直线异面的直线构成了什么?”问题新颖独特,随后她们又把运动的观念引入研究过程,成功地制造出与之相对应的实物模型,并实现了电脑动画模拟,“发现”了“直纹螺旋面”。还有一组同学通过对一道立体几何题条件组矛盾的质疑,引出了对三面角的研究,得到有关三面角的一系列重要结论。

  群众性的探索、“发现”的意义,不仅仅是成果的本身,更重要的是它极大鼓舞和激发了学生学习、探索和参与创新实践的兴趣和热情,培养了学生的科学精神和创新思维习惯,增强了问题意识,提高了获得新知识的能力。

  设计更多、更好的开放性问题,探索开放性的课堂教学模式,尝试开放型教学组织形式,其共同点都是要为学生提供这样的机会:应用他们的数学知识和技能,组织小组活动,合作学习,表现其创造性、想象力、革新精神和探索研究精神,从而站在更高的层次、进一步地开展数学学习。

参考文献

[1]戴再平.高中数学开放题集[M].上海教育出版社.

[2]戴再平.时代的呼唤——数学开放题研究进展综述[J].中学数学教学参考,1999(4).

[3]张彦.数学开放题及编制方法[J].数学教学,1999(6).

[4]任升录,张远增.对数学开放性问题的认识及其教学尝试[J].数学教学,2000(6).

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