求最值的一种有效方法

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副标题:——几何法

内容摘要:最值问题是初等数学的重要学习内容。在解题教学中,最值问题的求法多种多样,本文试图通过一些具体例子初步探讨一下借助几何图形来解决最值问题。       一、数量运算关系式的最值问题  例1 设a、b、c、d是实数,求(a[2]+b[2])·(c[2]+d[2] )的最小值。  解:观察a[2]+b[2]

GB/T 7714-2015 格式引文:[1].求最值的一种有效方法.[J]或者报纸[N].中学理科(高中),(08)

正文内容

  最值问题是初等数学的重要学习内容。在解题教学中,最值问题的求法多种多样,本文试图通过一些具体例子初步探讨一下借助几何图形来解决最值问题。

  

  

   一、数量运算关系式的最值问题

  例1 设a、b、c、d是实数,求(a[2]+b[2])·(c[2]+d[2] )的最小值。

  解:观察a[2]+b[2]与c[2]+d[2],它们都类似于两点间的距离公式。故我们得到启发,能否用几何图形来表示它?

  

  

  解:对根式内的二次三项式进行配方后得

  

  

  一般说来,含有根式的问题,运算量都比较大,如果能灵活地运用几何中的结论和方法,就能使某些问题变得直观、形象,收到事半功倍的效果,若用常规的代数方法来解,就显得繁琐。

  

  

   三、一次、二次函数最值问题

  例3 已知x[2]+y[2]+6x-8y+21=0,求u=x+2y的最值。

  解:把u=x+2y变形为y=(-x)/2+u/2,u/2是直线的纵截距,因而x+2y在条件x[2]+y[2]+6x-8y+21=0下最值的几何意义是:与曲线x[2]+y[2]+6x-8y+21=0有公共点的直线族x+2y=u中, 直线的纵截距的最值。

  注意到条件所给的二次曲线是圆:以O[,1](-3,4)为圆心,以2为半径的圆,即经过变形得(x+3)[2]+(y-4)[2]=2[2],由图3不难看出,

  

  上面的六个例子都涉及到坐标系和图形的建立,其中坐标系的建立最重要。因为坐标系的建立使数和形能够结合起来。

  由上述诸例可以看出,用几何直观法求最值的一般步骤是:

  (1)认真审题,找出条件及结论蕴含的几何模型。

  (2)画出几何模型,使问题得到恰当的转化。

  (3)对几何模型进行仔细观察分析,得出合理性猜想。

  (4)对猜想进行严格证明。

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