突出数学思想,发展思维能力

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副标题:——对新教材“三角函数”一章的认识及教学体会

内容摘要:新教材把学生当作学习主体,在内容的选择上很好地体现了“以学生发展为本”的理念,突出了数学概念、数学方法和数学思想,有利于发展学生思维能力,改变了过去有的学生把教材当作习题书或查找公式用的情形。本文结合自己的教学实践谈谈对“三角函数”一章的认识及教学体会。

GB/T 7714-2015 格式引文:[1].突出数学思想,发展思维能力.[J]或者报纸[N].中学数学研究,(07)

正文内容

  新教材把学生当作学习主体,在内容的选择上很好地体现了“以学生发展为本”的理念,突出了数学概念、数学方法和数学思想,有利于发展学生思维能力,改变了过去有的学生把教材当作习题书或查找公式用的情形。本文结合自己的教学实践谈谈对“三角函数”一章的认识及教学体会。

  

  

   1.对新教材“三角函数”一章的认识

  新教材对三角函数内容调整力度最大,“三角函数”一章是由旧教材“三角函数”、“两角和与差的三角函数,解斜三角形”、“反三角函数和简单三角方程”三章删减改编而成的,教学时数也由87课时减少为36课时。内容上,删减了一些强化的公式。同角三角函数基本关系式是在旧教材的平方关系、商数关系和倒数关系的8个关系式中选择了sin[2]α+cos[2]α=1,sinα/cosα=tanα和tanαcotα=1 三个最基本的关系式;删除了正切、余切诱导公式;没有提出“和差化积、积化和差”公式和半角公式,作为“二倍角公式”及“两个角和与差的正弦、余弦公式”的应用,以例题、练习的方式引出了这些恒等式,放在“二倍角公式”一节;删除了万能公式。这些被删除的公式都可以由给出的公式容易推导出来,分清了主次,减轻了记忆负担。删除了实用价值不大,而且让学生接受起来有一定难度的“反三角函数和简单三角方程”一章,只提出反三角函数的概念为“已知三角函数值求角”所用。清理这些知识的联系,删除了旧教材中的“0°—360°间的角的三角函数”一节,将它归结为任意角的三角函数,避免了重复定义;将旧教材中的“用单位圆中的线段表示三角函数值”作为三角函数的几何表示,放在“任意角的三角函数”一节,显示了三角函数线是三角函数的另一表现形式;把“两角和与差的三角函数”单元,整体安排在“三角函数的图象和性质”之前,突出了公式之间的联系,利于学生比较记忆;由于利用三角函数推导余弦定理比较繁琐,而利用平面向量推导比较简单,将正弦定理、余弦定理移至“平面向量”一章,安排在本册书最后,一方面体现了向量的工具作用,另一方面强化了两章的知识联系。与旧教材比较新教材有以下一些显著特点。

  

   1.1 编写科学准确,可读性强,有利于自主学习

  通过章头图和引言初步揭示本章的研究对象,符合学生认知心理。本章章头图选取一幅运动员作环形运动的画面,明确了推广角的概念的必要性,同时也给出了角的概念的一个模型;在引言中提出了一个求最大值的实际问题,内容是规划一块绿地,与学生的生活直接相关,并渗透了环保意识,激发了学生的学习兴趣,提高了学习的主动性。每小节后配有练习和习题(旧教材中每2—3节才配一组习题),便于学生及时巩固。小结与复习中增加的“学习要求和需要注意的问题”明确了要求,提高了自我纠错能力。教材编写更科学准确,经得起推敲。如:P46的例4只引出了半角公式的平方形式,没有写成表示有两个值,而α/2角的三角函数值由α/2角的终边所在象限唯一确定),同样,P25例3也根据α所在象限分别写出答案而没有写成±m的形式。

  

   1.2 方式上更加灵活,利于启发思维,培养能力

  教材有的地方以“想一想”的方式提出问题(P44例3),有时得出结论后让学生反思(P45,请想想为什么), 二倍角公式也是以填空的方式要求学生自己导出(P42),体现了教材与工具书的区别, 倡导了研究性学习,突出了素质教育。新教材增加了一题多解,旧教材只有一道例题用了两种解法,新教材保留了这道例题,并增加了一种解法(P26例5),小结与复习中增加的参考例题(P84)均给出了两种解法。另外,P44例3通过“想一想”启发学生自己得出第二种解法。通过一题多解,让学生从多角度领悟知识和方法,有利于培养学生的求异思维能力和创新意识。

  教材还充分采用结构图、表格总结方法步骤,归纳整理知识, (P31、P65、P80、P81、P82)有利于形象思维与抽象思维的互补,帮助学生理解记忆。

  

   1.3 教材弹性大,给学生预留了发展空间

  习题层次分明,分练习、习题、复习参考题。习题中配有标* 号的提高题(P42),复习参考题分A组、B组,逐层深入, 还安排了三个参考例题;增加了两个阅读材料,将学生难懂的αsinx+bcosx=sin(x+θ)结合物理上的同频率正弦电流相加, 作为阅读材料提供给学生,扩大了学生的知识面,满足了不同层次学生的要求。

  

   1.4 概括数学思想,发展思维能力

  教材编写注意从数学思想高度培养学生的能力。在“弧度制”一节总结角的集合与实数集之间是一一对应的关系,体现了集合与对应思想。“同角三角函数的基本关系式”一节的例2、例3是已知一个任意角的正弦、余弦、正切中的一个值求出其余两个值,根据角所在象限分别讨论求解,体现了分类讨论思想。P42第11题把2α写成(α+β)+(α-β)(变元),将α±β看成单角(整体),体现了整体与变元思想。“函数y=Asin(ωx+ψ)的图象”一节由正弦曲线通过平移、伸缩变换得到函数y=Asin(ωx+ψ)的图象,体现了变换思想;教材还要求学生用类似的方法得到y=Acos(ωx+ψ)的图象,实际上是让学生学会运用类比的方法解决数学问题。另一方面,由y=sinx 的图象逐步导出y=Asin(ωx+ψ)的图象也体现了由特殊到一般的辩证唯物主义认识论思想。作为三角函数的图象和性质的应用,把“已知三角函数值求角”一节安排在三角函数的图象和性质之后,强化了数形结合思想;“正弦函数、余弦函数的图象和性质”、“正切函数的图象和性质”的练习题中编排了要求学生观察图象解三角不等式,有意识地让学生运用数形结合思想解决问题。参考例题2的解法2(P85)运用方程思想求值,参考例题3的解法2(P86)运用了待定系数法。

  值得一提的是,在众多的数学思想方法中,化归是核心,教材多处运用化归思想分析解决问题。“两角和与差的正弦、余弦、正切”一节先推导了两角和的余弦公式,然后将差角转化为和角,正弦转化为余弦导出公式。“正弦函数、余弦函数的图象和性质”一节将余弦函数转化为正弦函数,从而通过平移正弦曲线得到余弦曲线,避开了用余弦线画图象这一难点。参考例题1的解法2(P84 )是将两个角和的余弦化归为诱导公式解决,这些都是化归思想的具体运用。另外,教材有三处明确提到化归思想(P31、P43、P65), 在小结与复习的“学习要求和需要注意的问题”中也给予了概括总结。

  

  

   2.几点教学体会

  教材改革服务于教学改革。教师要与时俱进,适应教材改革的需要,真正将素质教育落到实处。教师不仅要对新教材有深刻的认识与领悟,更要改变传统的教学理念,创新教法,将新教材精神落实到位。

  

   2.1 能动处理教材,不满足于照本宣科

  教材是引导而不是禁锢、规范而不是限制教师利用教材对数学进行建构和创造,教材要靠教师在教学过程中第二次加工创造。

  例如:“任意角的三角函数”一节主要讲了任意角的三角函数定义,三角函数线,正弦、余弦、正切函数的值在各象限的符号以及诱导公式一,其中三有函数线是教学难点。如果按照教材编写顺序,讲完定义后紧接着讲三有函数线,学生难于接受。我将三角函数线安排在三角函数值在各象限的符号之后讲解,比较符合学生的认知心理顺序,有助于理解这种几何表示的合理性,清除了认知心理障碍,效果较好。

  

   2.2 用活例题、习题,培养学生创新精神

  在数学教学中,对学生各种能力的培养,很大程度上是通过例题、习题的讲解和练习来体现并完成的。充分利用这些例(习)题,挖掘它们的潜在教学功能,可以引导学生深入教材,提高认知水平,培养创新精神。

  例如:“角的概念的推广”一节练习第2题(P7), 如果就题论题,就没能真正领会编写者的意图,深入分析其内含,星期是重复出现的,而终边相同的角也是重复出现的,因此可以用判断角所在象限的方法来推断过去或将来若干天是时期几。进一步的思考学生会发现与α终边相同的角就是被2π除余数都是α的角,虽然教材没提出同余概念, 但不知不觉中学生已运用同余的方法解决问题。

  在讲参考例题1的解法2(P84)时, 可以启发学生将诱导公式概括为:若β+α=kπ(k∈Z),则sinβ=(-1)[k+1]sinα,cosβ=(-1)[k]cosα。不仅方便了记忆, 而且从这个角度应用诱导公式解题显得更为简单。

  例1 求cos519°的值(P31例(1))。

  解:∵519°+21°=3·180°,

  

   ∴cos519°=-cos21°=-0.9336。

  

   2.3 一题多解,优化学生思维品质

  一题多解不仅可以加深学生对所学知识深刻理解,整合知识结构,达到娴熟运用的目的,而且它还扩大了学生的认识空间,有利于学生掌握基本的解题方法和技巧,提高学生分析问题和解决问题的能力,起到优化思维的作用。

  由于多方面的原因,教材给出的一题多解的例题很有限,我们要适时补充一些一题多解的例题。

  例如“同角三角函数的基本关系式”一节的例1—3是已知一个任意角的正弦、余弦、正切中的一个值求出其余两个值,教材只利用基本关系式给出了一种解答。由于同角三角函数的基本关系式是由定义推导出来的,当然可以直接利用定义来解答这类问题,有时比用基本关系式解来得简单。

  例2 已知cosα=-8/17,求sinα,tanα的值(P25例2)。

  解:由cosα=-8/17,可设r=17,x=-8,从而y=±15。

  当y=15时,sinα=y/r=15/17,tanα=y/x=-15/8;

  当y=-15时,sinα=y/r=-15/17,tanα=y/x=15/8。

  

   2.4 重视分析总结思想方法,发展数学思维能力, 培养辩证唯物主义思想

  学生数学能力的提高归根结底要靠数学思想方法的指导,徐利治教授说:“不懂得数学思想方法的教师不是一个称职的教师”。重视教学思想方法的教学,不失时机地揭示数学思想方法,对于提高学生数学素养,加强研究性学习都是十分必要的。因此在讲解公式推导、图象和性质以及例题时,要有意识地帮助学生总结数学思想方法,授之以渔,而不是授之以鱼。具体内容见1.4所述。

  另外,在“正弦函数、余弦函数的图象和性质”一节,教材由正、余弦函数奇偶性得到正、余弦函数图象的对称性,可以引导学生观察图象得出结论:图象与X轴的交点都是对称中心, 过最高点或最低点且与Y轴平行的直线都是对称轴。同样可知(kπ,0)、(π/2+kπ,0)(k∈Z)都是正切曲线的对称中心。使学生的认识从特殊上升到一般,从局部上升到整体,培养学生辩证唯物主义认识观。

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