中考数学新题型

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副标题:——材料阅读题

内容摘要:在近几年中考数学试卷中,悄然出现一类材料阅读型试题。这类试题首先向考生提供一个阅读材料,然后要求解答有关问题,从而综合考查学生的阅读能力、概括能力、辨析能力、理解运用能力及探索发现能力。其内容丰富、形式活泼,反映了中考命题的新动向及素质教育的新要求。本文以有

GB/T 7714-2015 格式引文:[1].中考数学新题型.[J]或者报纸[N].中学理科(初中),(07)

正文内容

  在近几年中考数学试卷中,悄然出现一类材料阅读型试题。这类试题首先向考生提供一个阅读材料,然后要求解答有关问题,从而综合考查学生的阅读能力、概括能力、辨析能力、理解运用能力及探索发现能力。其内容丰富、形式活泼,反映了中考命题的新动向及素质教育的新要求。本文以有关一元二次方程的中考题为例,对材料阅读题中的常见题型作些归纳总结。

  

  

   一、阅读材料,归纳方法

  

  

  

   二、阅读材料,纠正错误挖病根

  例2 已知关于x的方程k[2]x[2]+(2k-1)x+1=0有两个不相等的实数根x[,1]、x[,2]。

  (1)求k的取值范围;

  (2)是否存在实数k,使方程的两实根互为相反数?如果存在,求出k的值;如果不存在,请说明理由。

  解 (1)根据题意,得Δ=(2k-1)[2]-4k[2]>0,解得k <1/4。

  ∴当k<1/4时,方程有两个不相等的实数根。

  (2)存在,如果方程的两实数根x[,1]、x[,2]互为相反数,则x[,1]+x[,2]=-((2k-1)/k[2])=0。

   ①

  解得k=1/2,经检验k=1/2是方程①的解。

  ∴当k=1/2时,方程的两实数根x[,1]与x[,2]互为相反数。

  读了上面的解答过程,请判断是否有错误?如果有,请指出错误之处,并直接写出正确答案。

   (2001年山东省济南市中考题)

  解析 有错误。(1)漏掉k≠0,正确答案为:当k<1/4且k≠0时,方程有两个不相等的实数根。

  (2)k=1/2不满足Δ>0,正确答案为:不存在实数k,使方程的两实根互为相反数。

  评注 已知方程有两个不相等的实数根,说明它必是一元二次方程,即满足k≠0,这一点初学者易忽视;其次,韦达定理应用的前提是一元二次方程有实根,即二次项系数k[2]≠0,判别式Δ≥0,这也易被疏漏。本题既考查了方程、韦达定理、判别式等基础知识,也考查了学生思维的全面性和批判性。

  

  

   三、阅读材料,掌握新知巧应用

  例3 先阅读第(1)题的解法,再解第(2)题。

  (1)已知p[2]-p-3=0,1/q[2]-1/q-3=0,p、q为实数,且pq≠1,求p+1/q的值。

  解 因pq≠1,故p≠1/q。

  又∵p[2]-p-3=0,1/q[2]-1/q-3=0,∴p、1/q是方程x[2]-x-3=0的两个不等实根。

  ∴p+1/q=1。

  (2)已知2m[2]-3m-7=0,7n[2]+3n-2=0,m、n为实数, 且mn≠1,求m+1/n的值。

  (1998年江苏省徐州市中考题)

  解析 本题的第(1)题的解法, 介绍了一元二次方程根的定义与韦达定理的应用。尽管根的定义的应用在课本中没有介绍,但考生完全可以从本题的解法中理解并掌握之。(2)从已知中易见n≠0, 则由7n[2]+3n-2=0可变形为2/n[2]-3/n-7=0。由于mn≠1,故m≠1/n。所以m、1/n是方程2x[2]-3x-7=0的两个不等实根,由根与系数的关系,可得m+1/n=3/2。

  

  

   四、阅读材料,探索规律找共性

  例4 (1)如表,方程1,方程2,方程3, …是按照一定规律排列的一列方程。解方程1,并将它的解填入表中的空白处;

  (2)若方程a/x-1/x-b=1(a>b)的解是x[,1]=6,x[,2]=10,求a、b的值,该方程是不是(1 )中所给出的一列方程中的一个方程?如果是,它是第几个方程?

  (3)请写出这列方程中的第n个方程和它的解,并验证所写出的解适合第n个方程。序号 方

   程

  

  

  

  

  方程的解1

   6/x-1/(x-2)=1 x[,1]=_____ x[,2]=______2

   8/x-1/(x-3)=1 x[,1]=4

   x[,2]=63

   10/x-1/(x-4)=1 x[,1]=5

   x[,2]=8…

  

  

  …

  

   …

  

  

  

  …

  (2000年山东省中考题)

  解析 (1)x[,1]=3,x[,2]=4。

  (2)将x[,1]=6,x[,2]=10分别代入a/x-1/(x-b)

  

  此时方程为12/x-1/(x-5)=1。

  观察序号为1、2、3的三个方程的解,x[,1]依次为自然数3、4、 5,x[,2]依次为偶数4、6、8,显然x[,1]=6,x[,2]=10应该是(1)中序号为4的一个方程。a为偶数6、8、10下面的一个数12,b为自然数2、3、4下面的一个数5。

  (3)偶数6、8、10、…中第n个偶数是2n+4,自然数2、3、4、…中第n个自然数是n+1;偶数4、6、8、…中第n个自然数是2n+2,自然数3、4、5、…中第n个自然数是n+2。因此,这列方程中的第n 个方程是(2n+4)/x-1/(x-(n+1))=1,它的解是x[,1]=n+2,x[,2]=2n+2(验证略)。

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