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副标题:——主体参与型”概念课课例分析

内容摘要:概念课教学在初中数学课堂教学中占有重要地位。淄博市初中数学课堂教学“探究——主体参与型”课题实验,对概念课教学进行了深入的研究。我们为概念课的教学过程设计了“创设问题情境——分化各种属性——概括形成概念——巩固运用推广”四个环节,突出了概念的形成过程及概

GB/T 7714-2015 格式引文:[1].“探究.[J]或者报纸[N].中学数学杂志(初中),(04)

正文内容

  概念课教学在初中数学课堂教学中占有重要地位。淄博市初中数学课堂教学“探究——主体参与型”课题实验,对概念课教学进行了深入的研究。我们为概念课的教学过程设计了“创设问题情境——分化各种属性——概括形成概念——巩固运用推广”四个环节,突出了概念的形成过程及概念的巩固深化。本文将通过对“一元二次方程”的课例分析,谈谈我们对概念课教学的认识。

  

  

   教学目标

  1.使学生知道整式方程、一元二次方程的含义。

  2.使学生知道一元二次方程的一般形式,会把一元二次方程化成一般形式,并确定其二次项系数,一次项系数及常数项。

  3.通过一元二次方程概念的教学,渗透类比的思想方法,培养学生由具体到抽象,由特殊到一般的分析、概括能力。

  

  

   重点

  1.一元二次方程的含义。

  2.化一元二次方程为一般形式,并分清二次项及其系数,一次项及其系数,常数项各是什么。

  

  

   难点

  正确认识一元二次方程的二次项及其系数、一次项及其系数、常数项,排除概念非本质属性的干扰,突出体现概念的本质属性。

  

  

   教具

  计算机、实物投影仪等。

  

  

   教学过程

  

   1 创设问题情境

  1.1 出示问题

  (1)要剪一块面积为150cm[2]的长方形铁片,使它的长比宽多5cm,这块铁片应怎样剪?

  (2)用一块长80cm,宽60cm的簿钢片, 在四个角上截去四个相同的小正方形,然后做成一个无盖盒子,使它的底面积为1500cm[2]。 试求出要截去的小正方形的边长?

  1.2 尝试解决

  问题(1)由学生完成。

  问题(2)师生共同完成。

  (1)利用多媒体有序揭示示意图:

  (2)小组讨论,并列出方程。

  (3)老师适时点拨,展示学生成果。

  设小正方形的边长为xcm,那么盒子底面的长及宽分别为(80-2x)cm及(60-2x)cm,根据题意,得(80-2x)(60-2x)=1500。

  整理,得:x[2]-70x+825=0。

  评述 数学概念的产生和形成过程,一般说来,是人们在对实际的(或具体的)事例观察的基础上,通过比较、分析、归纳,再进一步概括,抽象出本质的过程。问题1和问题2为学生提供了比较丰富的感性材料,通过对问题的探究得到具体的一元二次方程。这样做可以使学生认识到数学概念的产生来源于实际的需要,体会到学习一元二次方程的必要性。

  

   2 分化概念本质属性

  2.1 观察由两个实际问题引出的方程并定义整式方程

  整式方程:象上面这样的两边都是整式,且至少一边含有未知数的方程是整式方程。如x=5,x[2]=1/2x,x+y=0等也都是整式方程,而1/x+3=y,1/(x+y)-2=0就不是整式方程。

  2.2 讨论这类方程的特点

  (1)是一个整式方程;

  (2)只含有一个未知数;

  (3)未知数的最高次数是2次。

  评述 这一环节学生通过分析比较后,从不同的实例题中概括出这类方程的共同属性:(1)整式方程;(2)只含有一个未知数;(3)未知数的最高次数是2。

  

   3 概括形成概念

  3.1 由学生对照一元一次方程给“一元二次方程”命名。

  3.2 师生共同定义一元二次方程

  一元二次方程:在整式方程中,只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的方程叫做一元二次方程。

  评述 在以上两步的基础上,抽象、概括出一元二次方程的定义

  3.3 初步应用

  练习:判断下列方程是否为一元二次方程,并说明理由:

  (1)4x-3=6x+5;

  (2)x[3]+x+1=0;

  (3)x[2]-9=0;

  (4)x+1/x=2;

  (5)x(2x-3)=0;

  (6)(x-1)(x-3)=x[2]-6;

  (7)2x[2]+3x-7=0。

  3.4 问题:能过上面的练习,你能得到什么结论?

  评述 这里的初步应用,一方面是通过具体的例子(含正例与反例)加深对概念的理解,另一方面为归纳一元二次方程的一般形式作好铺垫。正例中有完全一元二次方程,也有不完全一无二次方程,这就为归纳一元二次方程的一般形式时突出“a≠0”做好了准备,有利于揭示概念的内涵和处延。

  3.5 抽象、概括出一元二次方程的一般形式

  任何一个关于x的一元二次方程,经过整理, 都可能化成下面的形式ax[2]+bx+c=0(a≠0)这种形式叫做一元二次方程的一般形式, 其中ax[2]叫做二次项,a叫做二次项系数;bx叫做一次项,b 叫做一次项系数;c叫做常数项:即(板书)

  

  讨论:①a为什么取不等于0的实数?

  ②b、c是否也有限制?

  评述 一元二次方程的一般形式,即用“符号”语言来描述一元二次方程,是“定义”的另一种表达形式。归纳一般形式的过程,是一个由特殊到一般的过程。这个过程的体验是学生认识概念的第一次飞跃。通过对a、b、c取值范围的讨论, 可以使学生进一步明确一元二次方程的本质属性(二次项系数a≠0)与非本质属性(一次项系数b, 与常数项c),有利于学生从实质上把握概念, 这样设计有利于突破本节的教学难点。

  

   4 巩固运用推广

  4.1 练习

  (1)请同学们自己编写几个一元二次方程。

  (2)说出下列一元二次方程的二次项系数,一次项系数, 常数项:

  ①3x[2]+x-2=0

  ②-5x[2]+6x-7=0;

  ③6x[2]-x=0;

  ④3x[2]-5=0。

  评述 让学生自己编写一元二次方程,则是一个由一般到特殊的过程,具有高度的开放性,这是学生对概念认识上的第二次飞跃。练习(2)是对一元二次方程一般形式的套用与变式训练。 以进一步加深对概念的理解。

  4.2 例题:把方程3x(x-1)=2(x+2)+8化成一般形式,并写出它们的二次项系数,一次项系数及常数项。

  解 去括号,得:3x[2]-3x=2x+4+8

  移项,合并同类项,得方程的一般形式:

  3x[2]-5x-12=0。

  二次项系数是3,一次项数是-5,常数项是-12。

  4.3 练习

  (1)把下列方程先化成一元二次方程的一般形式, 再写出它们的二次项系数、一次项系数及常数项。

  ①3x[2]=5x+2;

  ②3x(x-1)=x(x+5);

  ③(2x-1)(3x+2)=x[2]+2;

  ④(x+1)[2]-2(x-1)[2]=6x-5;

  ⑤2(x+3)(x-4)=x[2]-10。

  (2)把方程mx[2]-nx+mx+nx[2]=q-p(m+n≠0)先化成一元二次方程的一般形式,再写出它们的二次项系数、一次项系数及常数项。

  (3)填空题:关于x的方程(m[2]-9)x[3]+(m+3)x[2] -mx+m+1=0,

  ①当m______时,是一元一次方程。

  ②当m______时,是一元二次方程。

  评述 例题是教师的示范,练习(1 )是学生的模仿与师生的共同校对,是运用概念的第一个层次,练习(2)(3)则是变式训练,是对概念的演化与拓展,是运用概念的第二个层次,对概念的运用,可以使概念具体化,加深对概念的理解。

  4.4 课堂小结

  (1)本节课我们从实际出发,提出问题, 引入整式方程和一元二次方程。

  

  (2)看书p.5页,本节要求我们:

  ①知道整式方程,一元二次方程的含义。

  ②知道一元二次方程的一般形式,会把一元二次方程化成一般形式。

  ③能准确而熟练地确定一元二次方程的二次项系数,一次项系数及常数项。

  (3)课的开头我们提出的两个问题,①铁片应怎样剪? ②小正方形的边长是多少?这实际上属于一元二次方程的解法,下一节课我们将要学习。其实在本节课中我们已经涉及到了最简单的一元二次方程的解法。练习中就有m[2]-9=0的解法,这种解法的根据是什么呢?请大家课后思考。我们下节课再来研究。

  评述 小结(1)的目的是把新概念纳入概念系统, 建立新的认识结构,以利于进一步学习。小结(2 )的目的是让学生明确本节的目标,从总体上认识本节课的得与失,明确课后复习的方向。小结(3 )回扣引例中的实际问题,使学生认识到,要解决这些问题,还必须研究一元二次方程的解法,从而使教学内容得以延伸。让学生思考练习中m[2]-9=0的解法依据,也使学生的思维活动延深到课外。为学生预习提供了一个较为明确的目标。

  4.5 推荐作业

  (1)必做题:p.6,A组2(2、4、5);

  (2)选做题:p.6,B组1;

  (3)思考题:试给出一元三次方程的概念, 并写出一元三次方程的一般形式。

  评述 作业的设计采用“推荐”的形式,有点自助餐的味道,又含有套餐的成份。主要目的是为了适应不同层次的学生。这种推荐作业的方式值得提倡。

  概念课最重要的是加强概念形成过程的教学,让学生在概括形成概念的过程中,逐步理解所学概念,这对培养学生学数学、用数学的意识,提高学生的思维水平是十分必要的。对应着“一元二次方程”概念教学过程的四个环节,可以看到概念课教学的一般程序(1 )创设问题情境:根据不同的教学内容,设计的问题或者是经验事实,或者是典型事例,或者是直观演示。以形成对概念的感性认识。(2 )分化各种属性:从各个不同的角度和侧面去分析比较,舍弃非本质属性,分化出概念的本质属性,形成对概念的理性认识。(3 )概括形成概念:给概念下定义,明确概念的内涵和外延。定义的呈现形式一般有文字语言、符号语言和图形语言。(4)巩固运用推广:运用概念,使概念具体化,并把概念纳入概念系统,形成新的认知结构。正例和反例的辨析,是帮助学生理解概念的有效措施。

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