高考常考不衰的内容

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副标题:——函数复习导析

内容摘要:一、函数试题特点分析及预测  函数是高中阶段数学重要的基础知识,应用十分广泛,函数的思想方法贯穿高中数学教学的全过程,对于分析和解决数学问题和实际应用问题具有重要作用,纵观近年全国高考试题,涉及函数问题已成为经久不衰的热点,常考常新,每年高考均占15-20%,根据

GB/T 7714-2015 格式引文:[1].高考常考不衰的内容.[J]或者报纸[N].中学理科(高中),(01/02)

正文内容

  

  

   一、函数试题特点分析及预测

  函数是高中阶段数学重要的基础知识,应用十分广泛,函数的思想方法贯穿高中数学教学的全过程,对于分析和解决数学问题和实际应用问题具有重要作用,纵观近年全国高考试题,涉及函数问题已成为经久不衰的热点,常考常新,每年高考均占15-20%,根据对近年全国高考试题的分析研究,函数问题呈以下几个特点:

  

   1.考查函数概念、逻辑推理能力和必要的数学解题思想方法.

  近几年高考试题中始终贯穿考查函数概念及其性质这一主线,特别是函数的三要素,奇偶性、单调性、周期性、对称性以及函数最大值、最小值等有关性质是考查的重热点问题.利用各种思想方法进行逻辑推理解决函数问题也是试题的特色之一.

  

   2.考查抽象函数概念以及解决函数问题的特殊方法.

  由于抽象函数融函数的性质及图形变化为一体,既是全面考查学生抽象、类比、归纳及发散思维能力的重要内容,又是融合函数与方程思想、数形结合思想、转化与化归思想等数学思想方法的很好素材,因此成为高考的命题热点.

  

   3.考查函数与不等式、数列、解析几何等知识交叉渗透及综合应用.

  以能力立意是高考数学命题的指导思想,在知识交汇点设计试题是高考命题的新特点.由于函数是研究变量及相互联系的数学概念,与高中其它知识之间有着广泛又密切的联系,是考查综合能力的极好内容.因此通过设计函数综合题,可以从深层次考查思维能力和创新、应用能力,特别是知识的交叉、渗透和迁移,力求对知识的融会贯通,把握内在联系,切实提高综合能力.

  

   4.考查以函数为模型的实际应用问题,培养应用意识.

  以函数知识为背景,通过建立数学模型解决实际问题,可挖掘和提炼具有社会价值的数学应用知识,让考生从数学角度,观察事物、阐释现象,分析解决问题.

  根据上述特点分析及函数在高中数学中的地位与作用,可以预测上述特点还将在2003年的高考中得到体现,特别是函数概念及其性质的应用,函数与不等式、数列、方程、解析几何、三角等知识的综合运用还将成为热点内容,因此这部分复习重点是加深概念理解,重视性质应用,沟通知识联系、提高综合解题能力,特别要把握好下面四个问题:

  1.系统深化函数概念及性质,有重点地加强函数主体知识的理解和把握、提高思维层次.

  函数有关概念多、特别是函数三要素(定义域、值域、对应法则)、反函数、函数单调性、奇偶性、对称性、周期性、最大(小)值等“三基”知识是高考出现频率最高也是最重要的基础知识,只有深刻理解,才能准确应用.

  例1 设a为实数,函数f(x)=x[2]+|x-a|+1(x∈R),(1)讨论f(x)的奇偶性;(2)求f(x)的最小值.

  (2002年全国高考题)

  

  评析:本题揭示了函数、不等式、数列之间关系,这是体现中学数学知识间相互联系、交叉渗透的典型实例,把握好这类问题的解决方法,对于提高解题灵活性十分有益.

  3.努力挖掘并把握函数创新性问题的实质,注重函数思想与方法的应用.

  以函数为主体的创新性试题在近年高考试题中经常出现,解决这类问题常需要深入知识的内涵与外延,理解问题的实质,需要培养观察问题的能力,掌握解决问题的方法.

  

  评析:近几年函数创新题屡有出现,上述涉及不动点的问题也是高考考函数知识的热点,解决的关键是理解问题的实质,把其转化成熟悉的数学问题.

  4.关注函数应用的社会价值导向,学会用数学的眼光观察事物,阐释现象,分析问题和解决问题.

  解答数学应用问题是创新意识和实践能力的综合体现,函数知识与社会现实、经济建设、科技发展密切相关,以这些社会的热点为背景,考查函数应用问题,有利于增强用数学的意识,有助于学会将实际问题抽象为数学问题,促进学生综合素质的提高.

  例4 国家收购某种农产品价格为每吨120元,其中征税标准为每100元征收8元(称税率为8个百分点),计划可以收购a万吨,为减轻农民负担,决定税率降低x个百分点,预计收购量可增加2x个百分点.(1)写出降低税率后税收y(万元)与x的函数关系式:(2)要使此项税收在税率调整后不低于原计划的78%,试确定x的范围.

  分析与略解:(1)根据条件可列出以下关系:

  

  上述中A为疑难点,为条件隐含,而实际A依然为120元/吨.故:

  y=120a·(1+2x)%·(8-x)%,其中x∈(0,8]

  (2)由条件120a(1+2x)%·(8-x)%≥120a×8%×78%

  解得:0<x≤2.

  

  

   二、典型题型及解法分析

  分析近几年全国高考函数试题可以归纳为以下几种典型题型.

  

   1.涉及集合与映射概念

  考查对集合和映射概念的理解以及集合间的关系常以选择题和填空题的形式出现.

  例5 (2002年全国高考题)设集合M={x

  说明:由集合定义知它具有两个特征,一是整体性,一是确定性,集合中的各个对象叫此集合的元素,它具有“三性”.即“确定性、互异性、无序性”.准确理解概念并合理进行计算是解决这类问题的前提,但集合概念中要注意空集的特殊地位,以免造成失误.

  例6 集合M={a、b、c},集合N={-1,0,1},由M到N的映射f满足条件f(a)+f(b)=f(c),这样的映射共有(

   ).

  A.5个

   B.6个

   C.7个

   D.8个

  分析与略解:根据映射的定义可列下表.

  

  说明:本例利用建立对应关系,直观地获得满足条件的结果.

  

   2.涉及函数的图像及其性质问题

  此类问题一直是近年高考的热点问题,主要涉及函数定义域、值域、奇偶性、单调性等性质以及图像变换,既有以选择题、填空题形式出现,又常以综合性解答题形式出现.

  

  例8 已知f(x)为奇函数,定义域为{x|x∈R且x≠0},又f(x)在区间(0,+∞)上是增函数,且f(-1)=0,则满足f(x)>0的x的取值范围是(

   ).

  A.(1,+∞)

   B.(0,1)

  C.(-1,0)∪(1,+∞)

  D.(-∞,-1)∪(1,+∞)

  分析与略解:由奇函数性质知,奇函数图像关于原点对称,故f(-1)=f(1)=0,可作满足条件的大致图像如图1,由图像知f(x)>0的解集为(-1,0)∪(1,+∞),选C.

  

  例9 定义在R上的偶函数y=f(x)满足f(x+1)=-f(x),且在区间[-1,0]上单调递增,设a=f(),b=f(2),c=f(3),则(

   ).

  A.c<a<b

   B.b<c<a

  C.c<b<a

   D.a<b<c

  分析与略解:由f(x+1)=-f(x)知f(x+2)=-f(x+1)=f(x).故y=f(x)是周期为2的偶函数.

  ∴y=f(x)在[1,2]上单调递增,又f(3)=f(1)

  ∴f(3)<f()<f(2),选A.

  

  说明:解决涉及函数性质的客观性试题关键要熟练掌握性质及其函数图像的几何特征,掌握解选择题的基本方法,避免小题大作.

  

   3.涉及函数最值问题

  函数最值是函数中最常见的问题,尤其是二次函数最值最为常见,解决这类问题常利用二次函数的图像及其性质求解.

  例11 题目见例1(2).

  分析与略解:要求f(x)的最小值,考虑把绝对值符号脱去,必须对参数a分类讨论.

  

  

  

  

  

  

   高分突破

  

   一、选择题

  1.设集合A和集合B都是实数集R,映射

  

  

  

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