增设认知情节 化解思维障碍

全文总计 2430 字,阅读时间 7 分钟,快速浏览仅需 2 分钟。

副标题:——《点的轨迹》探究性教学设计

内容摘要:点的轨迹是初中几何中的重要概念,是进一步学好数学的基础,是教学中的难点之一.笔者在教学实践中感受到:学生对轨迹定义感到抽象,难以正确理解含义;对轨迹命题的叙述感到别扭,难以准确叙述;对轨迹图形的探求难于下手,常会不知所措.针对上述现象,笔者采取增设认知情节,化解难点的做法

GB/T 7714-2015 格式引文:[1].增设认知情节 化解思维障碍.[J]或者报纸[N].数学教学研究,(05)

正文内容

  点的轨迹是初中几何中的重要概念,是进一步学好数学的基础,是教学中的难点之一.笔者在教学实践中感受到:学生对轨迹定义感到抽象,难以正确理解含义;对轨迹命题的叙述感到别扭,难以准确叙述;对轨迹图形的探求难于下手,常会不知所措.针对上述现象,笔者采取增设认知情节,化解难点的做法觉得颇有收获.

  

  

   1 提供直观材料,形成表象认识

  问题1 汽车在笔直的公路上行驶,车轮留下的痕迹是一个什么图形?(一条直线)

  问题2 夏天的夜晚,流星在空中划空而过,刹那间流星留下的痕迹是什么图形?(一条射线)

  问题3 将重锤线一端固定,让重锤左右摆动,重锤在什么图形上摆动?(在一条弧线上摆动)

  问题4 从上面现象中你能得到一个什么结论?(物体运动留下的痕迹是一个图形)

  评析 提供学生熟知的材料,从中归纳普遍规律,符合学生的认知特征,同时也为下面的抽象并形成数学概念打下物质基础.

  

  

   2 逐步抽象概括,形成数学概念

  问题1 我们把汽车、流星、重锤看成一个点,把它们的运动路线看作轨道,简称“轨”,痕迹、印子简称“迹”,你又能得到一个什么样的结论?(点的轨迹是一个图形)

  问题2 物体运动要遵守一定的规则,即点的运动要符合一定的条件,对点、图形要加上什么样的限制条件?(符合某个条件的点的轨迹是以点按这个条件运动所形成的图形)

  问题3 按通常定义的方式应怎样叙述?(我们把点按某个条件运动所形成的图形叫做符合这个条件的点的轨迹)

  问题4 图形由哪些点组成?(由符合条件的所有点组成)定义应怎样表述?(我们把符合某一条件的所有点所组成的图形叫做符合这个条件的点的轨迹)

  评析 (1)采用定义分步走,分步抽象归纳,便于让学生理解定义.

  (2)将上述过程作如下板书,容易让学生体会定义的形成过程:

  

  的图形叫做符合这个条件的点的轨迹.

  3 抓住关键字词,剖析轨迹含义

  点的轨迹的定义的叙述方式与学生已学过的定义的叙述方式有所不同,定义中的“图形”与“轨迹”指向的图形必须完全重合,否则就曲解了点的轨迹的含义.为此对定义中“符合某一条件的所有点所组成的图形”这句话的含义必须认真加以剖析:

  第一层含义:图形由符合条件的那些点组成的,也就是说,图形上任何一点都符合条件;

  第二层含义:图形包含了所有符合条件的点.也就是说,符合条件的任何一点都在图形上.

  由此可知,判断一个图形是不是符合某个条件的点的轨迹,需要满足两个条件:①图形上任何一点都符合条件——一个也不多;②符合条件的任何一点都在图形上——一个也不少.

  辨析 下列说法是否正确?为什么?

  (1)到定点O的距离等于2cm的点的轨迹是以O为圆心,2cm为半径的半圆,如图1.

  不正确,符合条件的另一半圆去掉了.

  (2)以线段AB为底边的等腰△ABC的顶点C的轨迹是线段AB的垂直平分线,如图2.

  不正确,直线l与线段AB的交点应去掉,正确的叙述应在题后加上(交点除外),正确的图形是图3.

  

  

  

  

  

   4 通过作图分析,归纳3个轨迹

  

   4.1 基本轨迹1

  让学生动手用圆规画圆,并提问:圆上的点符合什么条件?圆由哪些点组成?由此归纳出:

  到定点的距离等于定长的点的轨迹是以定点为圆心,定长为半径的圆.

  练习1 以线段AB为斜边的直线三角形的直角顶点c的轨迹是以

  

   4.2 基本轨迹2

  让学生画线段AB的垂直平分线并提问:线段垂直平分线上的点有什么性质?线段垂直平分线由符合什么条件的点组成?并归纳出:

  到已知线段两个端点距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线.

  练习2 以线段AB为弦的圆的圆心的轨迹是

  

   4.3 基本轨迹3

  让学生画∠AOB的平分线并提问:角平分线上的点有什么性质?角平分线由符合什么条件的点组成?并归纳出:

  在一个角的内部(包括顶点和边)到这个角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线.

  练习3 与已知角∠AOB的两边都相切的圆的圆心的轨迹是

  评析 通过画图,借助于图形的性质归纳基本轨迹,是一个从直观到抽象的过程,有利于对轨迹的理解;将练习插入其中,有利于学习在摹仿学习中加深印象.

  

  

   5 利用基本轨迹,探求轨迹图形

  初中几何涉及的轨迹图形(包括下节课的轨迹4、轨迹5)可分为两类:一类是直线(射线、线段),另一类是圆(圆弧).由符合条件的部分点即可判断符合条件的点的轨迹是什么图形.通过描点判断,是探求轨迹图形的基本方法.

  例1 如图4,点M在△ABC的边AB上移动,求CM中点的轨迹.

  

  先定性:画出符合条件的三个点P[,1]、P[,2]、P,这三点大致在一直线上,由此可判断点的轨迹是直线.

  再定位:当M与A重合时,P为AC中点;当M与B重合时,P为BC中点.由此可判定轨迹是△ABC的中位线.

  归纳结论:点M在△ABC的边AB上移动,CM中点P的轨迹是△ABC中与AB平行的中位线.

  例2 如图5,已知⊙O上一点A,求以A为端点的弦AB中点P的轨迹.

  先定性:因AB是A点固定的动弦,A与AB中点P的距离也会变化,由此可判断P点的轨迹是圆弧线.

  

  再定位:当AB过圆心O时,O与P重合;当A与B重合时弦AB长为O,点P与A重合.

  由此可判定P点的轨迹是以AO为直径的圆(A点除外).

  归纳结论:以A为端点的⊙O的弦AB的中点P的轨迹是以AO为直径的圆(A点除外).

  

  

   6 回顾认知过程,形成思维结构

  学生作业:略.

  

  现行数学教材,既有一定的系统性,时而也会出现一定的跳跃性.对于跳跃性较大的内容,由于学生知识积淀少,前后内容联系不连贯,容易造成教学上的困难.但只要我们立足于学生,根植于教材,取材于实际,描准学生的思维障碍,化解难点,不失时机地加以巩固,就能收到满意的教学效果.

推荐10篇