贴近实际 与时俱进 突出创新

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副标题:——2003年中考数学应用性试题命题特点分析

内容摘要:《全日制义务教育数学课程标准(实验稿)》中关于课程目标中指出:“通过义务教育阶段的数学学习,学生能够初步学会运用数学的思维方式去观察、分析现实社会,去解决日常生活中和其他学科学习中的问题,增强应用数学的意识.”2003年各地中考数学命题围绕这一目标进行了积极的探索,大批

GB/T 7714-2015 格式引文:[1].贴近实际 与时俱进 突出创新.[J]或者报纸[N].中学数学教学参考,(09)

正文内容

  《全日制义务教育数学课程标准(实验稿)》中关于课程目标中指出:“通过义务教育阶段的数学学习,学生能够初步学会运用数学的思维方式去观察、分析现实社会,去解决日常生活中和其他学科学习中的问题,增强应用数学的意识.”2003年各地中考数学命题围绕这一目标进行了积极的探索,大批的贴近社会实际,贴近学生生活,体现时代要求,反映国情民意、市场经营、生产生活、重大事件、现代时尚的新型应用题如雨后春笋般涌现出来,充分展示了一年来各地在命题改革方面取得的新成果和深化素质教育的新成就.研究和把握中考应用题的命题趋势,对于更新教育理念,指导新一轮的中考复习教学,具有非常重要的意义.笔者根据手中掌握的60多份2003年中考数学试卷,现对2003年中考数学应用题的命题特点进行分析,并筛选部分新颖的、有代表性的试题予以评析,供读者参考.

  

  

   1.应用题的题量和分值与去年大体相同

  下面是2001年、2002年、2003年中考数学应用题统计分析表:

  

  从表中看出,2001年至2002年应用题的平均题量与平均分值呈增长趋势,而2002年至2003年应用题的平均题量与平均分值大体相同,有稳定的趋势.也有部分省市2003年中考数学卷上的应用题的题量与分值创历年新高.如安徽省的试卷上有关实际应用的试题共计11道(其中填空题5道,选择题2道,解答题4道),占总题量26题(其中有附加题2道)的42.3%,其分值为68分(其中填空题8分,选择题20分,解答题40分),占总分170分(含附加题的20分)的40%.山东省淄博市的试卷上有关实际应用的试题共计8道(其中填空题1道,选择题2道,解答题5道),占总题量24题的33.3%,其分值为51分(其中填空题4分,选择题7分,解答题40分),占总分120分的42.5%.

  

  

   2.应用题的取材广泛,题意出新

  与往年相比,2003年中考应用题的取材面大为扩展,几乎不局限于任何范围,充分展示了数学应用的广阔空间.特别是取材于生产生活、环境保护、国情国策、市场经营、社会热点、新闻事件、现代时尚等方面的试题遍布各地试卷,让人耳目一新,不胜枚举,体现了中考命题改革与时俱进的勃勃生机.这些情景新颖而又亲切的应用问题,既有强烈的德育功能,引导学生关注社会热点,了解时事政策,又可以让学生从数学的角度分析社会现象,体会数学在现实生活中的作用,提高应用能力.

  

   2.1 取材于社会关注的热点方面的问题

  例1 (江苏省徐州市)2003年4月16日世界卫生组织宣布,冠状病毒的一个变种是引起非典型肺炎的病原体.某种冠状病毒的直径约

  

  例2 (湖南省娄底市)为抗击传染非典型肺炎(SARS)危害,我国对一切公共设施进行大规模消毒.抗击非典消毒公司根据卫生部要求,3月份生产消毒液2万件,经技术改进后,4月、5月生产消毒液12万件,那么4~5月份生产的月平均增长率是多少?

  

  例3 (湖北省武汉市)今年春季,我国部分地区SARS流行,党和政府采取果断措施,防治结合,很快使病情得到控制.图1是某同学记载的5月1日至30日每天全国的SARS新增确诊病例数据图.将图中记载的数据每5天作为一组,从左至右分为第一组至第六组.下列说法:①第一组的平均数最大,第六组的平均数最小;②第二组的中位数为138;③第四组的众数为28.其中正确的有(

   ).

  A.0个 B.1个 C.2个 D.3个

  答案:例1,C;例2,100%;例3,D.

  评注:今年春季,发生在我国部分地区的非典型肺炎,给人民的生命安全带来了严重的隐患,也给国家的经济造成了巨大的损失.在党中央、国务院的正确领导下,全国人民万众一心,众志成城,终于取得了抗击“非典”的决定性胜利.事实再次说明,在中国共产党领导下,中国人民没有克服不了的困难.以上三例分别取材于“非典”病毒研究、消毒液生产、病例统计的实际背景,考查的知识分别是科学记数法、一元二次方程和统计知识.

  

   2.2 取材于日常生活方面的问题

  例4 (江西省)黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图2的规律拼成若干个图案:

  

  (1)第4个图案中有白色地面砖________块;(2)第n个图案中有白色地面砖_______块.

  例5 (山东省淄博市)图3是一张可折叠的钢丝床的示意图,这是展开后支撑起来放在地面上的情况,如果折叠起来,床头部分被折到了床面之下(这里的A、B、C、D各点都是活动的).活动床头是根据三角形的稳定性和四边形的不稳定性设计而成的,其折叠过程可由如图4的变换反映出来:

  

  

  如果4.已知四边形ABCD中,AB=6,CD=15,那么BC、AD取多长时,才能实现上述的折叠变化?

  例6 (福建省泉州市)周末某班组织登山活动,同学们分甲、乙两组从山脚下沿着一条道路同时向山顶进发.设甲、乙两组行进同一段所用时间之比为2∶3.

  (1)直接写出甲、乙两组行进速度之比;

  (2)当甲组到达山顶时,乙组行进到山腰A处,且A处离山顶的路程尚有1.2千米.试问:山脚离山顶的路程有多远?

  (3)在题(2)所述内容(除最后的问句外)的基础上,设乙组从A处继续登山,甲组达到山顶休息片刻,再从原路下山,并且在山腰B处与乙组相遇.请你先根据以上情景提出一个相应的问题,再给予解答(要求:①问题的提出不得再增添其他条件;②问题的解决必须利用上述情景提供的所有已知条件).

  例7 (浙江省台州市)某市煤气公司对用户收费方法是:若每月用气量不超过A立方米时,只收基本费3元和保险费1元;若用气量超过A立方米时,则超过部分按每立方米B元收超额费.某用户1、2月份煤气用量和付费如右表所示.(1)求A、B的值;(2)若3月份用煤气32立方米,则要缴煤气费多少元?(煤气费=基本费+超额费)

  

  答案与提示:例4,(1)18;(2)4n+2;例5,由变换的第一个图知,AC[2]+CD[2]=AD[2],即(6+BC)[2]+15[2]=AD[2]①;由变换的第三个图形知,AB+AD=CD+BC,即6+AD=15+BC②.由①②解得AD=39.BC=30;例6,(1)3∶2;(2)3.6千米;(3)可提问题:“问B处离山顶的路程小于多少千米?”解答:设B处离山顶的路程为m千米,甲、乙两组的速度分别为3k千米/时、2k千米/时,依题意得m/3k<1.2-m/2k,解得m<0.72(千米);例7,(1)可列方程组求得A=5,b=0.5;(2)17.5.

  评注:以上四例取材于生活实际,现实性很强.铺地砖、折叠床、登山活动、换煤气等等这些学生非常熟悉的事情中都蕴涵着丰富的数学问题,这些来源于生活的试题,会使学生切实感受到数学的应用就在身边.例4是规律探索题,解例5的关键是从图形变换中找出存在的相等关系,例6的第(3)问是开放性问题,主要考查学生的问题意识和处理问题的能力,例7也可以用分段函数求解.

  

   2.3 取材于社会实践活动方面的问题

  例8 (北京市)在社会实践活动中,某校甲、乙、丙三位同学一同调查了高峰时段时北京的二环路、三环路、四环路的车流量(每小时通过观测点的汽车车辆数),三位同学汇报高峰时段的车流量情况如下:

  甲同学说:二环路车流量为每小时10000辆;乙同学说:四环路比三环路车流量每小时多2000辆;

  丙同学说:三环路车流量的3倍与四环路车流量的差是二环路车流量的2倍.

  请你根据他们所提供的信息,求出高峰时段三环路、四环路的车流量是多少?

  例9 (湖北省黄石市)随着我市教育改革的不断深入,素质教育的全面推进,我市中学生利用假期参加社会实践活动调查的越来越多.张同学在我市J牌公司实习调查时,计划发展部给了他一份实习作业:在下述条件下,规划下个月的产量:假如公司生产部有工人200名,每个工人的月劳动时间不超过192小时,生产一件J牌产品需工人劳动2小时;本月将剩余原料60吨,下个月准备购进300吨,每件J牌产品需原料20公斤;经市场调查,预计下个月市场对J牌产品的需求量为16000件,公司准备充分保证市场需求.请你和张同学一起规划出下个月的产量范围(设下个月产量为x).

  答案:例8,高峰时段三环路、四环路的车流量分别是11000辆和13000辆;例9,下个月的产量不少于16000件,不多于18000件.

  评注:培养创新精神和实践能力,关注学生终生学习能力的培养,是现代素质教育的基本理念之一.随着第八次课程改革的不断深入,促进了学生学习方式的改革,社会实践活动是使学生增长知识、发展能力的一种新型学习方式.以上两例分别以学生的两个不同的社会实践活动为素材,设计新颖,富有创意.例8可以用一元一次方程或二元一次方程组求解,例9需要列不等式组求解.

  

   2.4 取材于国情国策方面的问题

  例10 (浙江省绍兴市)改革开放以来,我国国民经济保持良好发展势头.国内生产总值持续较快增长,图5是1998~2002年国内生产总值统计图.根据图中信息,解答下列问题:(1)1999年国内生产总值是______;(2)已知2002年国内生产总值比2000年增加12956亿元,2001年比2000年增加6491亿元,求2002年国内生产总值比2001年增长的百分率(结果保留两个有效数字).

  

  例11 (湖北省宜昌市)知识链接:

  GPD是按市场价格计算的国内生产总值的简称.

  百分点 是百分比中相当于1%的单位,它是用“和”或“差”分析不同时期百分比的一种表示形式.如:工业总产值今年的增长幅度为19%(也可以说成增长了19个百分点),去年的增长幅度为16%,今年比去年的增长幅度增加了(19-16=3)3个百分点而不能说成增加了3%.

  国债投资 指国家发行长期建设国债的投资.它已成为经济稳定快速增长的助推器,据测算:每a元钱的国债投资带动的投资总额可以达到4a元至5a元.

  问题思考:2000年国债投资带动GPD增长1.7个百分点,创造了120万个就业单位;2002年国债投资1500亿元,创造了150万个就业单位;从2000年到2002年的三年里,由于由国债投资带动GPD增长总共创造了400万个就业岗位.已知2000年与2002年国债投资带动GPD增长百分点的和,比2001年由国债投资带动GPD增长百分点的两倍还多0.1.

  (1)若由国债投资带动的投资总额的40%将会转成劳务工资成为城乡居民的收入,请估计2002年由国债投资带来的城乡居民收入的情况(数额范围);

  (2)若每年GPD增长1.7个百分点就会创造120万个就业岗位,再每增加一个百分点就创造k万个就业岗位.请你确定比例系数k的值,并测算2002年由国债投资带动GPD增长了多少个百分点.

  答案:例10,(1)82067,(2)6.7%;例11,(1)240亿元至300亿元,(2)k≈70.6,增长了2.125个百分点.

  评注:以上两例均以国民经济发展的实际背景为素材,在考查方程等有关知识的同时,引导学生了解时政,关注国家大事和经济发展.特别是例11,取材新颖,几个概念对初中毕业的学生来说是全新的、陌生的,这种学生都不熟悉的问题背景使得选拔具有公平性,该试题的文字叙述冗长,数据信息较多,对学生的阅读理解、信息筛选等方面的能力要求都很高.

  

   2.5 取材于环境保护方面的问题

  例12 (江苏省盐城市)到2002年底,沿海某市共有未被开发的滩涂约510万亩,在海潮的作用下,如果今后二十年内,滩涂平均每年以2万亩的速度向外淤长增加.为了达到既保护环境,又发展经济的目的,从2003年初起,每年开发0.8万亩.

  (1)多少年后,该市未被开发的滩涂总面积可超过528万亩?

  (2)由于环境得到了保护,预计该市的滩涂旅游业每年将比上一年增加收入200万元;开发的滩涂,从第三年起开始收益,每年每亩可收入400万元.问:要经过多少年,仅这两项收入将使该市全年的收入比2002年多3520万元?

  例13 (山东省泰安市)市政府为美化市容,改善居民的生活环境,投资总资金4700万元修建一个游园,为使游园早日造福市民,承建单位经预算,决定拿出投入总资金的0.4%用于购买某种名贵成树进行绿化.施工中,第一次用8万元从某林场购回若干棵;后经过了解,该林场出售此种名贵成树有优惠条件,即一次购买10万元以上者,每棵树优惠20元,于是承建单位第二次将预算购买名贵成树的余下资金一次投入,因此比第一次多购回200棵该种成树.问承建单位两次共购回这种名贵成树多少棵?

  例14 (浙江省杭州市)转炉炼钢产生的棕红色的烟尘会污染大气,某装置可通过回收棕红色烟尘中的氧化铁从而降低污染.该装置的氧化铁回收率与其通过的电流有关,现经过实验得到下列数据:

  

  如图6建立直角坐标系,用横坐标表示通过的电流强度,纵坐标表示氧化铁回收率.

  (1)将实验所得数据在图6所给的直角坐标系中用点表示;(注:该图中坐标轴的交点代表点(1,70));

  

  (2)用线段将(1)所画的点从左到右顺次连接,若用此图象来模拟氧化铁回收率y关于通过电流x的函数关系,试写出该函数在1.7≤x≤2.4时的表达式;

  (3)利用题(2)所得函数关系,求氧化铁回收率大于85%时,该装置通过的电流应该控制的范围(精确到0.1A).

  答案:例12,(1)15年后,(2)经过8年;例13,1000棵;例14,(1)略,

  

  (3)1.8A至2.2A之间.

  评注:加大治理力度,保护人类赖以生存的环境已经成为各级政府和部门的共识,在近两年,以环境教育为素材的应用题频频出现在各地的中考数学试卷上.以上三例分别取材于滩涂的开发利用、居民小区游园建设、治理废气污染的实际背景,构思巧妙,很有创意.例12用不等式和一元一次方程求解;例13用分式方程求解;例14考查的是分段函数,要特别注意坐标系的形式.

  

   2.6 取材于其他学科方面的问题

  例15 (安徽省)用“84”消毒液配制药液,对白色衣物进行消毒,要求按1∶200的比例进行稀释.现要配制此种药液4020千克,则需“84”消毒液_______克.

  例16 (山东省济宁市)在农业生产上,有时用10%~20%的氯化钠溶液来选种.小军家对两个品种进行选种后,分别剩下有13%的氯化钠溶液12千克和18%的氯化钠溶液15千克,如果只利用这两种溶液配制成16%的氯化钠溶液对第三个品种进行选种,那么最多能配制成这种溶液多少千克?

  例17 (湖北省孝感市)一生物学者发现,气温y(℃)在一定范围内,某种昆虫每分钟鸣叫的次数x与气温y成一次函数关系,其图象如图7所示.

  

  (1)请你根据图7中标注的数据,求出y与x之间的函数关系式;

  (2)当该种昆虫每分钟鸣叫56次时,该地当时的气温为多少?

  例18 (山东省济宁市)某班级举行毕业联欢会,一学生到商店购买2千克的糖果,当时该商店只有一台不等臂的天平和一个1千克的砝码,售货员只好先将砝码置左盘,糖果置右盘,平衡后,将此次称得的糖果给学生;再将砝码置右盘,糖果置左盘,平衡后,又将第二次称得的糖果给学生.该学生见此情况,告诉售货员这样做法对商店不利,请你说明理由(只考虑该天平的臂长不等,其他因素忽略不计;可根据杠杆的平衡条件解答).

  答案与提示:例15,20;例16,有两种可能:(1)全部用上13%的溶液,这时可列方程求得要用18%的溶液18千克,由于18>15,所以此种方法不可能,(2)全部用上18%的溶液,列方程可求得要用13%的溶液10千克,合乎题意,因此,可配制16%的溶液25千克;例17,(1)y=

  这样的做法对商店不利.

  评注:数学作为基础性的工具学科,它在其他学科中有着广泛的应用.以上四例分别是化学中的溶液配制问题、生物问题和物理中的杠杆平衡条件的应用问题,均是典型的跨学科问题.

  

   2.7 取材于游戏与拼图方面的问题

  例19 (江苏省淮安市)下面是同学们玩过的“锤子、剪子、布”的游戏规则:游戏在两位同学之间进行,用伸出拳头表示“锤子”,伸出食指和中指表示“剪子”,伸出手掌表示“布”,两人同时口念“锤子、剪子、布”,一念到“布”时,同时出手,“布”赢“锤子”,“锤子”赢“剪子”,“剪子”赢“布”.

  现在我们约定:“布”赢“锤子”得9分;“锤子”赢“剪子”得5分;“剪子”赢“布”得2分.

  (1)小明和某同学玩此游戏过程中,小明赢了21次,得108分,其中“剪子”赢“布”7次.聪明的同学,请你用所学的知识求出小明“布”赢“锤子”、“锤子”赢“剪子”各多少次?

  (2)如果小明与某同学玩了若干次,得了30分,请你探究一下小明各种可能的赢法,并选择其中的三种赢法添入下表.

  

  

  

  例20 (山东省淄博市)如图8,有A、B、C三种不同型号的卡片若干,其中A型是边长为a的正方形,B型是长为b,宽为a的矩形,C型是边长为b的正方形.

  

  (1)请你选取相应型号和数量的卡片,在右边的网格内拼(镶嵌)出一个符合乘法公式的图形(要求:三种型号都用上).这个公式是______;

  (2)现有A型卡片1个,B型卡片6个,C型卡片10个,从这17个卡片中拿掉一个卡片,余下的卡片都用上,能拼(镶嵌)成一个矩形(或正方形)的都有哪些情况?请说明理由;

  (3)在网格(网格略)中按照A型是边长为1的正方形,B型是边长为2,宽为1的矩形,C型是边长为2的正方形,画出满足(2)中条件的不同形状的矩形(或正方形),若拼出的图形是满足上述要求的正方形,拼出的图案要求成为轴对称图形;若拼出的图形是满足上述要求的矩形而不是正方形,拼出的图案要求既是轴对称图形,又是中心对称图形.

  答案:例19,(1)各赢6次和8次,(2)共有八种赢法,如“布”赢“锤子”、“锤子”赢“剪子”、“剪子”赢“布”分别为1次、1次、8次,或1次、3次、3次,或2次、2次、1次等;例20,(略).

  评注:以上两例分别取材于学生喜闻乐见的游戏活动和卡片拼图,题意新,设计巧.例18是探求三元一次不定方程(组)自然数解的问题;例19需要结合相关的数学知识,通过动手操作才能完成.

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