初中“数学情境与提出问题”的教学实践

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副标题:——“圆与圆的位置关系”教学案例

内容摘要:一、教学设计  笔者用Authorware制作了多媒体课件,采用“情境—问题”的教学模式,通过自然现象“日食”引导学生把实际问题抽象为数学问题,得出半径不等的2个圆间的5种位置关系.  在讲解例题时,笔者将书上的例题做了部分修改.书上例1为:⊙O的半径为5cm,点P是⊙O外

GB/T 7714-2015 格式引文:[1].初中“数学情境与提出问题”的教学实践.[J]或者报纸[N].数学教育学报,(04)

正文内容

  

  

   一、教学设计

  笔者用Authorware制作了多媒体课件,采用“情境—问题”的教学模式,通过自然现象“日食”引导学生把实际问题抽象为数学问题,得出半径不等的2个圆间的5种位置关系.

  在讲解例题时,笔者将书上的例题做了部分修改.书上例1为:⊙O的半径为5cm,点P是⊙O外一点,OP=8cm,求:(1)以P为圆心作⊙P与⊙O外切,小圆⊙P的半径是多少?(2)以P为圆心作⊙P与⊙O内切,大圆⊙P的半径是多少?改进为:⊙O的半径为5cm,点P是⊙O外一点,OP=8cm,以P为圆心作⊙P与⊙O相切,问⊙P的半径是多少?这样一改,就出现了很好的数学情境,笔者希望学生能由此讨论分清内切与外切的关系.最后笔者把圆的5种位置关系在数轴上表示出来,把几何问题代数化,让学生体会数形结合的思想.

  

  

   二、教学过程

  

   1.创设情境以引导学生提出问题

  师:从小学自然课中,我们知道,地球在绕着太阳公转的同时也在自转,而月亮又绕着地球转.在此过程中,你们听说过“日食”,见过“日食”吗?

  少部分学生:听说过.

  师:谁能描述一下“日食”形成的过程呢?

  学生全部沉默了,并用好奇的眼神看着老师.

  出示情境:课件显示日食形成过程.

  师:当月亮转到地球与太阳之间,3者成一条直线时,在地球上看到“日食”现象,我们现在看到的是“日食”的过程,大家注意到其中有什么数学问题吗?

  学生甲:太阳、月亮像2个圆:

  学生乙:太阳、月亮是球体.

  师:若使一束平行光线垂直于投影平面,则球体的投影是什么图形?

  生集体回答:是一个圆.

  师:因为太阳离地球很远很远,射到地面的光线可视为平行光束,看到的日食图形可视为圆形.现在,你们能用手中的2个大小不同的圆(一张纸,一张胶片,其上各画有一圆)演示一下日食形成的过程吗?

  女生丙到投影仪前将胶片上的圆沿着纸上的圆旋转一圈,另一个男生马上站起来说:“不是这样运动的,应该是一个圆慢慢移动过去盖住另一个圆.”并移动手中的2个圆演示了这个过程.

  师:大家能从这个男同学演示的过程中想到什么吗?

  生:2个圆的位置发生了变化.

  师:你能通过手中的图片的不断变化看出有哪些位置吗?

  一个男生到投影仪前演示了3种位置关系(外离、相交、内含),很快又有学生补充了外切和内切2种情况.这时,我用课件演示了2个半径不相等的圆慢慢移动形成的5种位置关系,并在屏幕上保留图形(如图1).

  

  图1 圆的各种位置关系

  然后引导学生观察图形,并问:你观察到了什么?学生纷纷举手,归纳如下:

  (1)这些图形中都有2个圆.

  (2)图1中,(1)与(5)的2个圆无公共点.

  (3)图1中,(2)与(4)的2个圆有且只有一个公共点.

  (4)图1中,(3)的2个圆有2个共公点.

  师:你能给它们取个名字吗?

  生:图1中,(1)与(5)都叫相离,(2)与(4)叫相切,(3)叫相交.

  师:怎样想到这样命名?

  生:由前面学过的直线与圆的位置关系想到.

  笔者及时地表扬了这位学生.接着,用课件给出了相离、相切、相交的定义.

  

   2.交流学习以弄清有关基本概念

  大家再观察图形,还能发现什么?

  生:虽然(1)与(5)都是相离,但它们又有不同,(1)中一个圆上的所有点在另一个圆的外部,而(5)中的2个圆有一个圆上的所有点在另一个圆的内部.

  另一个学生迫不及待地站起来说:(2)与(4)也不尽相同,它们虽然2个圆只有一个公共点,但(2)中有一个圆的其它点在另一个圆的外部,(4)中有一个圆的其它点在另一个圆的外部或内部.

  师:根据它们的特点,你能给它们再起个名字吗?

  学生争先恐后地回答:(1)叫外离,(5)叫内离,(2)叫外切,(4)叫内切.

  师:(5)是一个圆包含另一个圆,把它叫得更形象一点,叫内含.

  师:由前面学过的内容可知,圆心确定圆的位置,而半径确定圆的大小,若假设上图中大圆的半径为R,小圆的半径为r,2圆心的距离即圆心距为d,则这5种位置关系中,R、r、d的关系怎样?(多媒体课件显示圆心,半径及圆心距)

  学生多数能得出外离、外切的关系式:d>R+r,d=R+r.对于内切,学生得出的式子为:d<R+r或d=R+r;对于相交,学生得出的式子为:d<R+r或d<R-r等;对于内含,学生也得出:d<R+r或d<R-r等.笔者让学生讨论一阵后,利用制作的课件动感地将2圆的半径慢慢移到圆心距上,则外离、外切显而易见就是学生给出的关系式d>R+r,d=R+r;内切与内含,因线段颜色不一样,所以学生也很容易得出d=R-r和d=R-r的式子;相交是一个难点,笔者特意将2圆圆心与同一交点相连,再引导学生利用构成三角形的条件是2边之和大于第三边且2边之差小于第三边得相交关系式为:R-r<d<R+r.

  

   3.质疑探究以使学生在认知冲突中学习

  在定性、定量地对2圆位置关系进行探究后,笔者用一个例题进行巩固.(课件显示题目)

  例 已知⊙O的半径为5cm,点P是⊙O外一点,OP=8cm,以P为圆心作⊙P与⊙O相切,则⊙P的半径是多少?

  生甲回答:因为⊙P与⊙O相切,所以⊙P的半径与⊙O的半径之和等于圆心距.若设⊙P的半径为x,则有5+x=8,即x=3(cm).

  生乙有点犹豫地举手回答:我认为他的算法不全面,题中说相切,应分为内切与外切,当2圆外切时,跟上面算法一样,当2圆内切时应为x-5=8即x=13(cm).

  生丙迅速站起来说:他回答得不对,因为点P是⊙O外一点,所以不可能是内切.

  师:你的意思是说,当内切时,大圆圆心必须在小圆内,是吗?有不同的看法吗?

  大家感到有些困惑.

  此时,笔者引导同学们动手画一画,能否画出2圆相内切,而大圆的圆心不在小圆的内部.

  很快,就有学生惊呼:我能画出.当一个半径很小的圆与一个半径很大的圆相内切时,大圆的圆心就可能不在小圆内部,所以此题的答案为3cm或13cm.

  到此,学生对例题已讨论清楚,笔者用课件显示此题的解答过程.

  这时有一学生低声说到:当2圆半径相等时,它们会相内切吗?

  这个问题提得非常好,笔者顺水推舟把它抛给学生:你们认为2圆半径相等时,它们的位置关系有哪几种呢?学生马上展开讨论,不一会儿就有学生举手回答:只有外离、相交、外切3种情况,不会有内切与内含,因为此时它们重合了.

  又有学生提出:当2圆为同心圆时,是什么位置关系呢?对这个问题,大部分学生齐声回答:当2圆为同心圆时,应属于内含,圆心距为0.

  到此,本节课的内容已基本完成,然后电脑出示一组练习让学生巩固已学的基本概念和关系.

  

   4.师生小结加深理解

  (1)让学生回忆半径不等的2圆的5种位置关系是如何定义的.

  (2)在数轴上表示出圆的5种位置关系,让学生分析数轴中的内容.

  此时笔者用课件播放初二英语光碟中讲解四季的音乐片段,其中有一画面:雨点打在湖面上,卷起层层波纹,出现无数个圆.让学生观察、体验生活中美丽的圆形图案关系.

  

  

   三、教学反思

  本节课是在兴义六中借班所上的一堂交流课,对这班学生的各种情况笔者几乎不了解,所以在显示“日食”这个情境后,很多学生都感到很陌生,即使通过教师的讲解,也不易理解.若将其换成“雨滴落入湖面形成各种圆”这个情境,估计学生接受起来会更加容易一些.

  运用多媒体课件进行教学,形象生动地展示圆的各种位置关系.特别是定量分析半径不等的2圆的位置关系中,未展示课件时,学生得出各种各样的关系式.但用课件将它们的半径运动到一条直线,学生就很容易得出半径与圆心距的关系.

  本节课中,笔者创设“日食”情境引入概念、改进例题,使学生在探究的过程中巩固概念,获取新知,特别是2圆相内切时,“圆心在不在小圆内部”这个问题是课前未预料到的,学生通过质疑—困惑—探究—讨论得出结论,就更加深了对内切和外切的理解,同时自然地引出了等圆与同心圆这2种特殊圆的位置关系.这样,就逐步培养了学生的推理、判断、逻辑思维能力.最后我又设置了一个音乐画面情境,让学生变被动为主动,在轻松、愉快的心情中去学习、思考.

  课后,有学生问笔者2个问题:

  (1)在例题的讲解中,2圆内切,当小圆经过大圆的圆心,则它们之间又有何特殊关系呢?这个问题,是小圆的直径等于大圆半径时的特殊情况.

  (2)一个圆是轴对称图形,任意一条直径都是它的对称轴.那么2圆在各种位置关系中的组合图形还是轴对称图形吗?分别有几条对称轴?这其实就是下一节课的内容——“连心线垂直平分公共弦”的证明依据.

  选择适当的数学情境,能在解决问题和数学应用的过程中引发出新的情境,从而产生出深一层次的数学问题,形成“情境—问题”学习链,培养学生的创新意识和实践能力[1].

  在数轴上表示半径不等的2圆位置关系中半径R、r与圆心距d的关系,这种对圆的5种位置关系的定性描述和定量刻画,有利于学生形成数形结合的思想方法.

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