高中“数学情境与提出问题”的教学实践

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副标题:——“归纳—猜想—证明”教学案例

内容摘要:一、教学设计  本节课的目标是以数学归纳法的应用为基础,并利用从特殊到一般的归纳思想,解决一类探索性问题的求解,同时深化数学归纳法的应用,总结“归纳—猜想—证明”思想方法,提高学生分析问题和解决问题的能力.这是一节求解探索性问题的课型,这本身就决定了本节

GB/T 7714-2015 格式引文:[1].高中“数学情境与提出问题”的教学实践.[J]或者报纸[N].数学教育学报,(04)

正文内容

  

  

   一、教学设计

  本节课的目标是以数学归纳法的应用为基础,并利用从特殊到一般的归纳思想,解决一类探索性问题的求解,同时深化数学归纳法的应用,总结“归纳—猜想—证明”思想方法,提高学生分析问题和解决问题的能力.这是一节求解探索性问题的课型,这本身就决定了本节课应该是调动学生积极性,充分讨论,积极思考,集思广益,探索方法和结论的过程.所以采用“情境—问题”教学法.

  笔者在课前做了如下准备:①将全班同学分为若干小组,每组6人左右,原则自愿组合,老师适当调整,使每组尽可能具备讨论问题氛围基础.②将合适题目,精选出6个,制成思考题单,课前发到各小组,各组就自己感兴趣的问题分析思考,以此奠定上课时各组之间研究问题的基础.③做好相应的多媒体演示课件,根据教学情况之需适时演示.在上课的第一步,通过介绍哥德巴赫猜想的话题,借此具有感染力的事例调节课堂气氛,同时埋下“归纳—猜想—证明”这一探索真理重要方法的伏笔.关键之二,是使情境、问题形成锁链,相互孕育,有序展开.为此,本案例讨论的第一个问题,选择了具有直观意义的几何问题,在讨论思考运用“归纳—猜想—证明”的过程中,顺势扩展到更广的领域,并在总结中进一步提升认识未知世界的重要思想方法之一——“归纳—猜想—证明”的深远意义.

  

  

   二、教学过程

  

   1.展示数学情境

  教师:同学们,1742年,德国数学家哥德巴赫(Goldbach)给当时住在德国的大数学家欧拉(Leonhard Euler)的一封信中,提出了一个猜想,每个大于或等于6的偶数,都可以表示成2个奇素数之和,这就是著名的——哥德巴赫猜想,它引起了许多数学家的广泛兴趣,曾经有人对33×10[6]以下的每一个不小于6的偶数一一进行验证,都表明是正确的,然而,验证不能代替证明.18、19世纪过去了,证明没有取得实质性进展,直到20世纪,才在不同程度上陆续获得成果,特别是我国数学家陈景润的研究成果,目前还保持世界领先地位.同时,国内外还有很多的数学工作者,至今还在孜孜不倦地为结果的最终证明而奋斗.

  教师:从科学家们对哥德巴赫猜想的研究中,蕴含着一种探索真理的思维方法,请同学们说说看,是否对此有所感悟?

  众学生:别人发现我证明;先发现,后证明;经过证明的结论才能可信……

  学生1:从局部的特殊的发现,到一般的严格的证明.

  教师:说得都不错,今天我们的共同任务,就是学习体验从特殊入手,探索一般结论的方法,解决一类探索性问题.

  通过课件在屏幕上依次画直线,满足两两相交,任何3线不共点.学生准确迅速数出直线的交点数、平面区域数,并做记录.当画出第六条直线时,数数开始出现错乱.

  

   2.提出数学问题

  教师:同学们,体会刚才的数数活动,相信大家有疑要问,有言要发,现在请畅所欲言.

  学生2:如果直线很少,相信人人会数,但如果直线越来越多,数起来就费力了.

  教师:越来越多?100条多吗?能数吗?

  学生2:100条?估计没有人能数清楚.

  学生3:这问题一定要数吗?是否应该研究一下有没有规律呀!

  学生4:我赞成.

  教师:各小组发言踊跃,提出了各自的疑问及想法,综合起来大致归为如下几点:

  (1)逐一数数是不是解决这问题的好方法?

  (2)有没有规律可循?怎样寻找规律?

  (3)那些点数、区域数有没有联系?它们和直线的条数之间是什么关系?

  (4)是否可以像哥德巴赫那样去猜想规律?

  (5)n条直线所划分的平面区域数f(n)的表达式是什么?n条直线所形成交点数g(n)的表达式是什么?

  

   3.解决数学问题

  教师:现在我们来探讨大家提出的问题.

  看屏幕,上面是刚才画的直线,下面增加一张表格,请各小组迅速看图、填写,并陈述来自表格的信息(如表1).

  表1 直线划分平面区域数

  

  注:规定1条直线的交点数为0.

  各小组积极讨论探索,大约五分钟后.

  学生5:我们小组填表完毕,前3列可直接数得;横向看每次增加的数构成等差数列,由此得出最后一列的结果:

  

  教师:很好!归纳不错.其他小组结果怎样?

  有的小组表示不很清楚.

  教师:现在,请填完表的那个小组指定一名同学陈述一下思考过程(利用投影仪),让大家对比一下.

  学生6:我们小组已完成了区域数问题,当直线为1条时,平面区域为2个,增画第二条直线,平面区域增加了2个,当增画第三条直线时,平面区域增加了3个,……由此,我们猜想,当画出第n条直线时,平面区域个数比n-1条直线时增加了n个,由此可以得出n条直线所划分平面区域的个数f(n).即f(1)=2,f(2)=f(1)+2=2+2,f(3)=f(2)+2=2+2+3,……

  

  还有交点数问题,方法相同.

  教师:(其他同学都表示赞同)看来很有道理.我们现在是否已经完全解决了大家提出的问题?

  学生7:我们小组赞同刚才的结论,但这只是根据几个特殊数据的规律做出的猜想,还需要严格证明.

  教师:说得好,从特殊获得的猜想,是一种不完全的归纳,只有加上严格的证明,才是安全可靠的结论.哪个小组展示一下严格证明?

  学生8:我们小组是用数学归纳法证明的,先说对f(n)的证明:

  第一步:n=1时,显然成立:

  

  教师:同学们,我们用短短十几分钟的时间,真实体验了“从特殊事例的观察归纳→科学的假设猜想→一般性严格证明”的探索方法的全过程.我提议,为我们探索的成功,也为我们的问题的彻底解决喝彩!(教室响起了兴奋的喝彩声、掌声)

  

   4.总结数学应用

  教师:我们可以把刚才的探索问题的方法总结为屏幕上的3个步骤:

  “归纳—猜想—证明”.归纳——是来自对特殊事例的观察;猜想——来自归纳的发现;证明——确保猜想的正确性、推广应用的安全性.由于我们今天涉及的是与自然数相关的问题,所以证明的主要方法,就是数学归纳法.

  请看大屏幕,下边是求解数列通项公式的题目,我们研究一下怎么解决.

  与题设条件的关系较为隐蔽,让人感觉不好下手,怎么办?

  学生9:猜想.

  教师:怎么猜?能否说得具体点?

  学生10:先看n=1,2,3等特殊情况,是否可以从中发现什么规律,从而做出合理的猜想,然后再证明.

  这时大多数同学表示赞同.

  教师:各组马上实践,看看刚才的思路是否可行?(大约五分钟后)

  学生11(激动地):老师!有了,我们小组的结果是

  教师:很好,其他小组有意见吗?请各组把求解结果放到投影仪上来,相互借鉴.

  先后有3个小组将解答交上来,当它们从投影仪上显示时,很多同学对其中只有猜想而没有证明过程的解答提出了异议,而没有递交答案的小组,借鉴其他小组的思路完善了自己的结果.

  教师:刚才的问题,初步看来,条件与结论之间的关系并不明显,但同学们从特殊入手,发现了问题的奥秘,从而提出了科学的猜想,并用数学归纳法严格地证明了猜想的正确性,问题获得了彻底解决.这是同学们用“归纳—猜想—证明”的思想方法在代数问题中的成功应用,但规范表达上可进一步提炼.请看屏幕上的完整解答步骤,供参考.

  教师:现在解答下列2个题目:

  

  (2)求数列的通项公式.

  

  这说明本课学生思想活跃,能不拘一格地改用不同的数学方法分析问题和解决问题.

  巩固训练:用“归纳—猜想—证明”完成下

  说明结论及相应的理由.

  

  

   三、教学反思

  结合评课及学生学习效果反馈情况,进行认真思考,形成以下认识:

  (1)课堂气氛活跃.整堂课学生们自始至终保持了较高的讨论思考问题的兴趣和热情,显示了学生学习的积极性和自信心,奠定了实现课堂教学目标的良好基础.

  恰当创设情境是顺利展开问题教学探究的关键,引入哥德巴赫猜想对本案例教学目标有较好的指导性,对于本堂课的良好气氛的形成,功不可没.

  (2)本课的基本目标是用“归纳—猜想—证明”的思维模式,解决一类探索性问题,由于课堂民主和谐气氛贯穿始终,同学们讨论思考非常积极,思维明显活跃,不仅对老师预期的问题展开了充分讨论,实现了预期目标,而且有的同学还提出了其它解法,这在传统教学中,会因“不符本堂课主题”被忽视,客观上打击了学生的思维热情,造成学生不敢游离老师的既定思维半步,而只能枯燥地接受老师的填鸭,久而久之,学生便失去了数学学习的兴趣和能力;而在今天的课堂上,这种积极活跃的思维品质,得到充分肯定,同学们可以围绕要解决的课题,积极思维,提出自己的见解,在广泛的讨论交流比较中,提高分析问题和解决问题的能力.

  (3)在高三阶段,怎样处理培养数学思想与解题训练的关系是一个值得探讨的问题.

  多年的应试教育,形成了高三数学课的“概念、例题、训练”机械化填鸭模式,认为由于时间紧,老师争分夺秒不厌其烦地讲个不停,而学生囫囵吞枣,死记硬背,生搬硬套老师灌输的知识、技巧、题型等内容,看起来,每节课的容量大,但这些知识、技巧、题型的存在背景、来龙去脉,彼此间的相互关系,很多学生没有精力和时间去消化,其结果,熟悉的内容得高分,不熟的内容得0分.在本案例中,师生围绕几个典型问题展开了充分的讨论,学生在质疑、讨论、评价、总结的过程中,形成了自己的数学思想方法,更触发了学生积极思考、勤奋探索的动力,开发了学生的智慧源泉,实现了举一反三、触类旁通的效果.

  (4)最后2个练习题,老师没有做任何提示,原则上由各自独立完成,结果与预期相吻合.在几分钟的时间里,同学们几乎都能够利用从特殊到一般的归纳思想,顺利地得出定性结论,但在应用数学归纳法证明结论的过程中,部分同学遇到一定困难,尤其是不等式的放缩变形成为难点,同学们普遍认为,数学的抽象性是客观存在的,对本节课讨论涉及的思想方法有较好的理解.

  (5)对“情境—问题”教学模式的体会:

  ①“情境—问题”教学法,顺应国家教育改革思想,是实用方便,行之有效的创新教育模式(注:汪秉彝,吕传汉.创新与中小学数学教育[J].数学教育学报,2000.9(4).34).

  ②“情境—问题”教学法和当今提倡的“研究性学习”思想相得益彰,有利于解决“研究性学习”在我国推广普及应用于课堂教学(注:吕传汉,汪秉彝.论中小学“数学情境与提出问题”的数学学习[J].数学教育学报,2001.10(4).9-14).

  ③“情境—问题”教学法,优化思维情感,符合认识知规律.该教学法强调创设能激发思维火花的情境,融师生和谐于一体,围绕相关问题而探索,集思广益,共同提高,这将对国家倡导的“大力弘扬民族精神”有深远的意义.

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