模式 模型 模块

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副标题:——对数学教育的思考

内容摘要:“问题是数学的心脏”,但数学并不等同于解题,数学教学的任务也绝不限于使学生能答善考,它还担负着引导学生提高一般科学素养和社会文化修养,以及提高他们的数学认识水平的使命.本文愿与同行探讨一下这个问题.       一、模式、模型、模块  平凡的教学案例中,往往蕴涵

GB/T 7714-2015 格式引文:[1].模式 模型 模块.[J]或者报纸[N].中学数学,(04)

正文内容

  “问题是数学的心脏”,但数学并不等同于解题,数学教学的任务也绝不限于使学生能答善考,它还担负着引导学生提高一般科学素养和社会文化修养,以及提高他们的数学认识水平的使命.本文愿与同行探讨一下这个问题.

  

  

   一、模式、模型、模块

  平凡的教学案例中,往往蕴涵着深刻的哲理.比如,关于“三角形内角和”,老师让学生画图量出三个角,再相加,或把“三角形”剪下,剪开三个角拼起来.就说:“内角和等于180°”,这对不对呢?如果学生要问:既然测量和剪拼都证实了“三角形三内角和为180°”,为什么还要证?我们的教师该如何回答呢?另一个案例是:“矩形剪去一个角还有几个角?”答案是3,4或5.学生问老师:为什么“4-1=3”有时会不对呢?如果我们的教师不了解:任何数学命题、法则、公式都是在一定的数学理论系统内、在一定的条件下,才会成立,就必然会陷入尴尬的境地.

  在日常的数学教学中,面对大量普通的问题,正直的数学教师所表现出来的这种尴尬,使我们想起了赫什(Hcrsh,1979)教授如下的一段话[1]:“问题并不在于数学教学的最好方式是什么,而在于数学到底是什么,…,如果不正视数学的本质是什么的问题,便解决不了关于教学上的争议”.正是由于我们中的许多人对重大的数学哲学问题的无端漠视和对数学教学中一些带根本性的问题“不感兴趣”,日积月累,造成绝大多数学生只把数学作为应试工具,把数学等同于解题,有技能,缺见识的局面.如此下去,我们的“素质教育”只能沦为永久的口头禅.

  数学是什么?它研究的对象是什么?曾一度众说纷纭,而绝大多数人认可我国当代数学教育家徐利治的如下看法.徐利治指出:[2]数学作为一门抽象性学科,主要是研究理想化的“量化模式”,而一般说来,数学模式(mathematical pattern)指的就是,按照某种理想化的要求(或实际可应用的标准),来反映(或概括地表现)一类或一种事物关系结构的数学形式.这种数学模式在概念上,应具有四性:一义性、精确性、一定条件下的普适性和逻辑上的演绎性.徐利治进一步指出:数学模式的含义是极其广泛的,大而言之,凡是按布尔巴基结构主义观点所建立起来的每一个数学分支理论(包括:按公理化方法表述的各种数学理论结构体系),都可以看作一个大型的数学模式;小而言之,一个数学公式、一条数学定理、一种计算方法、一类数学问题的合理提法和一般处理方式,甚至按科学抽象法则概括出来的一个数学概念,也都可视为一个小型的数学模式,但必须注意的是:“普适性”是构成数学模式的必要条件,因此,数学中各种特殊问题的特殊方法构成的特殊模型,虽然也有一定的意义和价值,却不属于数学模式之列,它们既然不是数学模式,那么——

  它们是什么?它们是数学模型(mathematical model).什么是数学模型?文[3]告诉我们:数学模型是指对于现实世界的某一特定对象,为了某种特定目的,在做出必要的简化和假设的条件下,运用适当的数学工具,得到的一个数学结构,这种数学模型应具有如下三项特征:数学上抽象性,运用恰当的数学语言,且是为特殊的目的(如解释特定现象,预测未来状态,提供对某种对象的处理决策或控制方法)而构建,即它的实用性,数学模型可分为定性或定量的;代数的、几何的或分析的;确定的或随机的;静态的或动态的;连续的或离散的;线性的或非线性的等等.

  至于两者的关系,我们指出:数学模型往往要在一定数学模式的指导下构建,而有些数学模型,经过拓广之后,可成为数学模式.

  一个对数学说来十分重要的问题在于:在“数学模式”和“数学模型”之外,还有一种难得的“模”,被人们忽略了(从而使解题教学坠入“题海”),那就是用于解题的数学模块(matnematical mould),也叫数学思维模式或思维反应块.什么是数学模块呢?知名的美藉匈牙利数学教育家波利亚,在这方面做了很多工作,他先用方法论大师笛卡儿的话说:“我所解决的每一个问题,都将成为一个范例,用于解其他问题”,“如果我在科学上发现了什么新的真理,我总可以说它是建立在五、六个已成功解决的问题上.”然后,用自己的话加以详述[4]:“假如你想从解题中得到最大的收获,你就应当找出所做题目的最大特征,这些特征在你以后求解其他题目时,能起到指引的作用”.“一种解题方法,无论是自己获得的,或学来听来的,只要经过了你自己的体验,那么它对你来讲,就可成为一种楷模,当你在碰到类似题目时,它就是可供你仿照的模型.”为了进一步弄清数学解题思维模块性能、作用和对数学解题的巨大价值,我们听听解题教练,培养过包括自己两个儿子在内的数千名数学尖子生的傅学顺老师(华南师大数学教育研究所研究员、国家高技术863智能机基础研究课题组组长)的说法.他说[5]:“拔尖学生反应快的原因之一,是大脑中储存了许多定理之外的基本问题,从定理引申出来或从难题中抽取出来的基本问题,这个原因与反应快的另一原因——见微知著联想——结合,储存的信息就容易动员出来,以达到肢解问题或‘补全’问题,化大为小,化难为易,化解尴尬局面的效果!因此,我们把这两类基本问题称为思维反应块,它们就像电脑中的集成块、子程序.”“由于反应块的使用,学生的思维猛然由原始的套定义、套定理的点状型、线状型,上升为块状思维!”“反应块的发现,使我们弄清了知识和思维间的一种衔接物,弄清了由知识过渡到思维,由知识通向难题的桥梁之一.反应块具有双重性,既是知识又是招数,既与知识衔接又与思维接轨”,“一边解题,一边萃取思维方法;一边析出反应块,一边把题目分类(分成方法典型例题,反应块典型例题,可淘汰者).”“见微知著联想法则的精髓是:一看到新问题的假设或结论,已知或未知,或一看到反拐弯转化出来的中间结果或猜测中间站,与某公式、定理、定理外基本问题或解过的老问题(即反应块)有某些相同成分或结构,甚至是有某些类似,就立即回想其解法,作出快速反应,就按这个方向试一试”.

  由此可见,数学教学中的建模,包含着建构数学模式、模型和数学问题思维模块三种类型.

  

  

   二、对数学教师和教学的建议

  

   1.努力解决数学观方面的问题

  Paul Erncst在文[1]中说:除课程哲学观外教师本人的数学哲学观对教学方式亦有很大影响,一项著名的研究结果表明:“教师专业数学思想的形成与他们表达数学内容的典型方式存在着一致性,这有力地说明了教师的教学观、数学信仰和爱好的确影响着他们的教学活动”.由于种种原因,我国当前一线的数学教师,都没有明确的数学观.当问到头上时,多数人的回答是不了解,不以为然;当指出他们教学中出现的问题和面对某种“较真儿”的问题表现出的尴尬,正是出于某种不正确的数学观时,他们往往如梦初醒,在惊梦之余,才感慨数学观的重要.然而,由于数学的现代发展形成的研究对象的多样性和研究方法的复杂性,形成了对数学观(本体论和认识论)的众说纷纭的表述,我们应当持哪一种为好呢?自然,我们有通过学习和比较,进行选择的自由,这里只想介绍徐利治教授提出的“数学模式观”,供大家参考.在“数学模式”的基础上,可抽象概括出如下的“数学模式观”[2]:

  ①数学对象(即量化模式)在数学世界中是独立存在的.

  ②数学世界是抽象思维的产物,数学对象是借助于明确的定义逻辑地得到构造的,可见,数学对象(数学研究的直接对象:量化模式)就内容讲,是客观的(讲究数学发现),就形式讲,则是主观的(讲究发明创造).

  ③数学既然是通过模式建构对客观实体量性规律进行研究的,因而个别的数学对象并不直接面对现实,受现实的直接检验;而只是面对所属的模式,受模式的逻辑检验,整个模式才面对现实,受实践(或更为广泛的模式)的检验.

  ④由于数学模式是抽象思维的产物,不同的思维运动模式将产生不同的量化模式,由于大量的实例表明,关于数学思维合理性的判断在很大程度上是直观的和美学的,因此对数学模式的选择和真理性的评价,也往往首先是直觉和美感,最后才是实践.

  参照这样的表述,我们应当清理和反思自己的数学观,不可等待观望.

  

   2.数学建模

  由“数学模式观”的认识出发,我们看出,在数学教学的各个环节(数学概念与理论的教学、数学应用题的教学和解题教学),都不应当教现成的知识和方法,而是要教学建模:①在数学概念和理论的教学中,要安排一系列的数学活动引导学生亲历知识的生长过程,即数学模式的建构过程;由他们通过探索、反思、修改、完善,经历曲折和反复,亲手建构的数学模式,有他们的心血和情感,他们自然是知根知底,知其来之不易的,因此会倍加珍惜;②在应用题的教学中,要小中见大,不能以题论题,见木不见林,而要渗透数学建模和应用的思想,同时,要力争引导学生搞一些建模的课外活动,自己动手建构一些实际有用和有趣的数学模型;③在解题教学中,应坚定不移地执行如下三条策略:其一是运用波利亚的“解题表”[6]扎扎实实地进行一般解题方法的教学,进行严格的常规数学思维的训练,同时针对我们的“解题观”和学生解题中暴露出的“学习病”;其二是引导每个学生,构建自己的“已知已解问题网络”[7].我们知道,对一个中(小)学生来说,所谓“解题”,其本义是:以排成了一定顺序的课本中的概念、法则、定理、公式、定律的系统(即“数学模式”)为准绳,从题目的已知条件和假设出发,按正确的推理和计算,一步步地求出结果和推出结论.由此看来,对每个中学生来说,都应该有他自己的立足于相应的数学模式的已熟知,已会解的基本问题(及其典型解法)的网络.在这个网络中,包含自己构建的解题思维模块越多,见微知著联想的功能越强,则你的解题能力越强.其三是解题应试的心理训练,因为“艺高”和“胆大”的辩证规律,在这里顽强地起着作用.

  

   3.新模式下的数学教学特点

  由上面叙述的对数学教学的几个重要环节的建议,不难看出,从“数学模式观”出发的数学教学,有如下的特点:①在数学模式的指导下(通过教师引导体现),进行概念和理论的建构,最后达到在头脑中建构数学模式的目的;通过解题,不断积累数学思维模块,用块(而不是用孤立的点)去覆盖相应的领域,因此,它是一种见木又见林的数学教学,是在“造林规划”指导下的栽树;②它既关心知识的建构,能力的增长,思维方法和策略的运用,又关心科学的数学观念的形成和数学认识水平的提高,是一种形神兼顾的数学教学;③它既关心学生素质(一般科学素养,社会文化修养和数学品质)的全面提高,又关心在这种提高的基础上,学生解题应试能力的高标准的培养训练,因此,它是真正实施素质教育的数学教学.

参考文献

1.Paul Ernest(齐建华等译).数学教育哲学.上海:上海教育出版社,1998

2.徐利治.徐利治论数学方法.济南:山东教育出版社,2001

3.陈义华.数学模型.重庆:重庆大学出版社,1995

4.G.波利亚(刘景麟等译).数学的发现.呼和浩特:内蒙古人民出版社,1980

5.傅学顺.数学思维方法.广州:广东高等教育出版社,1995

6.杨世明.原则与策略.郑州:大象出版社,1999

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