把“数学发现”的权利还给学生

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副标题:——正弦定理的教学设计

内容摘要:一、教材简析  正弦定理、余弦定理是关于任意三角形边角之间关系的两个重要定理.在初中,学生已经学过一些关于三角形边角关系的定理,如大边对大角,直角三角形中的边角关系等.在学过任意角的三角函数的基础上,利用向量工具推导出这个定理,符合学生的认知规律.利用这

GB/T 7714-2015 格式引文:[1].把“数学发现”的权利还给学生.[J]或者报纸[N].数学通讯,(11)

正文内容

  

  

   一、教材简析

  正弦定理、余弦定理是关于任意三角形边角之间关系的两个重要定理.在初中,学生已经学过一些关于三角形边角关系的定理,如大边对大角,直角三角形中的边角关系等.在学过任意角的三角函数的基础上,利用向量工具推导出这个定理,符合学生的认知规律.利用这两个定理可以解决测量、工业、几何等方面的实际问题,同时这两个定理也是反映如何利用代数方法解决几何问题的典型内容之一.通过本节内容的教学,既可以提高学生解决实际问题的能力,培养学生学习数学的兴趣,同时也可以向学生渗透数学中的一些基本数学思想方法.

  

  

   二、设计理念

  长期以来,我们的课堂教学太过于重视结论,轻视过程.为了应付考试,为了使对公式定理应用达到所谓的“熟能生巧”,教学中不惜花大量的时间采用题海战术来进行强化.在数学概念公式的教学中往往采用的所谓“掐头去尾烧中段”的方法,到头来把学生强化成只会套用公式的解题机器,这样的学生面对新问题就束手无策.

  数学是思维的体操,是培养学生分析问题、解决问题的能力及创造能力的载体.新课程倡导:强调过程,强调学生探索新知识的经历和获得新知的体验,不能再让教学脱离学生的内心感受,必须让学生追求过程的体验.

  基于以上认识,在设计本节课时,教师所考虑的不是简单地告诉学生正弦定理的内容,而是创设一些数学情境,让学生自己去发现定理,证明定理.从发现定理的过程中让学生体会到:定理并不是凭空产生的,发现定理并不都是高不可攀的事情,通过我的努力,也可以做一些看似数学家才能完成的事.在这个过程中,学生在课堂上的主体地位得到充分发挥,极大地激发了学生的学习兴趣,也提高了他们提出问题、解决问题的能力,培养了他们的创新能力,这正是新课程所倡导的教学理念.

  

  

   三、教学目标

  通过本节课的学习让学生掌握正弦定理及最简单的应用,掌握正弦定理的证明,进一步体会向量的工具性作用.通过发现并证明定理,培养学生的创新意识和思维能力,向学生渗透一些基本的数学思想、方法,给学生成功的体验,激发学生的学习兴趣.

  

  

   四、教学过程

  

   1.创设问题情境,提出问题

  如图:上海市政建设公司为了建造崇海过江隧道,需要测量长江两岸的两个出口处A与B点的距离,测量人员在B点所在一侧选择C点,测得BC长为0.15km,测得∠ACB=103.4°,∠ABC=75.85°,能由此确定AB间的距离吗?

  

  图1 三角形

  T:这个问题可以转化为什么样的数学问题?

  S:能化为在△ABC中,已知两个内角及夹边,如何求另一边.

  T:要由角和边确定AB,只需要知道什么关系就可以了?

  S:三角形中边角之间的等量关系.

  板书:探求三角形中边角的等量关系

  [让学生明确方向]

  T:以前研究过三角形中的边角之间的等量关系吗?

  S:在Rt△ABC中有sin A=a/c,sin B=b/c,sin C=1,cos A=b/c,cos B=a/c,cos C=0.

  T:请同学们找一找有没有其它的关系式?

  [学生通过不断的尝试未必能一次发现,但这种尝试更符合学生的认识规律]

  

  T:对一般的三角形,上式也成立吗?

  (请同学自己画一个三角形,量出边和角的大小,利用计算器进行计算验证此式.)[给学生一个做“数学实验”的机会]

  教师可以利用几何画板中的度量功能计算出所画三角形的边和角的数值,显示的值,并不断变化三角形的形状,让学生进一步观察三个比值的变化情况.

  T:大家发现在拖动的过程中,很多三角形都满足(1)式,能不能就说对任意三角形(1)式都成立呢?

  S:不能.[要说明任意性必须证明,数学是严谨的,实验观察不能代替理论证明,此时是培养学生思维严谨性的好机会.]

  

   2.定理说明

  T:如何来证明呢?(可引导学生从特殊的简单的情形开始,如当三角形为直角三角形时.)

  证明1 过C作AB边上的高,如图2所示.

  

  图2 三角形图

  

  [以上两种证法是正弦定理的传统证法,新教材中没有采用,引导学生用这两种方法来证明,可培养学生的化归意识,此外,从证法二可发现三角形面积的又一个计算公式,可谓一举两得.]

  T:还有其他能反映角度和长度的量吗?

  S:向量的数量积.

  T:在三角形ABC中如何构造出这些向量呢?

  

  bcosA+acosB=c(射影定理)[虽然没有如愿以偿,但也有所收获]

  S[,2]:对(2)式两平方,得到b[2]+a[2]-2abcosC=c[2].

  [又一次“失败”,却意外发现了余弦定理,为余弦定理的学习打下伏笔]

  

  图3 三角形图

  引导学生反思以上两名同学的做法,向量的数量积与向量的夹角的余弦有关,而现在我们要证明是正弦有关的等式.

  T:sinA可改写成什么式子?

  S:sinA=cos(π/2-A)

  T:哪两个向量的夹角是(π/2)-A呢?

  S[,1]:过A点作一个向量j与垂直,这两个向量的夹角就是(π/2)-A.

  S[,2]:的夹角也是(π/2)-A.

  T:请大家在(2)式两边同乘以j或,看一看会出现什么结果?

  [作出这样的向量是问题的关键所在,但课本没有展开这个过程,如何引导学生作出这样的向量是教师的主要任务,从这个过程中学生还发现这个向量只要与AB垂直就行,不一定要按照课本的方法.这样可以培养学生的创新精神.]

  

   3.定理证明完以后,给出课题,并解决引例中的问题

  

   4.问题的延拓

  这个k会等于多少呢?

  [学生的思维被再次激活,有些同学可能联系到外接圆,但更多的同学可能有困难.]

  T:告诉我们,对△ABC而言,当∠A与边a确定时,比值k即确定,此时△ABC的形状唯一确定吗?

  S:不确定,顶点A可以动.

  T:看看点A的运动轨迹是什么?[教师可利用几何画板演示].

  [作法如下:1)作一个圆O;2)作圆的内接△ABC;3)度量∠A的大小及BC的长;4)建立一个[显示/隐藏]按钮,将圆O隐藏;5)拖动A点在平面内运动,∠A大小不变,利用轨迹跟踪功能可发现圆A的轨迹是一段圆弧.]

  S:A的运动轨迹是一个圆弧.

  T:是哪个圆上的一段弧呢?

  S:△ABC的外接圆,(显示△ABC外接圆)

  [此时,显示外接圆学生感到很自然,定理、公式本来就不是天上掉下来的.]

  T:比值k与外接圆有什么关系呢?

  S:比值k等于外接圆的直径.

  T:如何证明?[引导学生证明这个结论已不是一件困难的事情,真正的困难在于发现外接圆.]

  至此学生对正弦定理有了更完整的认识.

  

   5.课堂小结

  1)正弦定理的内容

  2)正弦定理的证明方法

  注 向量是数学中处理空间有关图形长度和角度的有效手段,课本用向量法证明正弦定理体现了向量的工具性作用.

  3)在发现正弦定理过程中用了观察、实验、猜想等数学方法,体现了由特殊到一般的数学思想.在证明定理时,分三角形为锐角三角形、钝角三角形进行讨论,则体现了数学中分类讨论的思想.

  [小结可先由学生叙述,教师进行补充和整理,小结的目的一方面让学生再次回顾本节课的活动过程,重点和难点所在,另一方面,更是对探索过程的再认识,对数学思想方法的升华,对思维的反思,可为学生以后解决问题提供经验和教训.]

  

   6.作业布置

  (注:本课在张家港2003年高中青年教师评优课中获得一等奖.)

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