在分层中递进 在类比中探究

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副标题:——“多面体欧拉公式的发现”的教学实录与体会

内容摘要:一、创设问题情景  师:(教师手捧足球)同学们都喜欢踢足球,大家是否知道,足球是由多少块正六边形的皮构成的吗?(学生七嘴八舌,议论纷纷,却无定论)  师:通过本节的研究,大家就可以找到答案了.  体会1 数学新课程标准指出,有意义的数学学习必须建立在学生的主观愿望和知

GB/T 7714-2015 格式引文:[1].在分层中递进 在类比中探究.[J]或者报纸[N].数学教学研究,(07)

正文内容

  

  

   一、创设问题情景

  师:(教师手捧足球)同学们都喜欢踢足球,大家是否知道,足球是由多少块正六边形的皮构成的吗?(学生七嘴八舌,议论纷纷,却无定论)

  师:通过本节的研究,大家就可以找到答案了.

  体会1 数学新课程标准指出,有意义的数学学习必须建立在学生的主观愿望和知识经验基础上,创设真实的问题情景,可以诱发学生进行探索.

  

  

   二、知识回顾

  多面体的概念以及构成多面体的基本元素:顶点、棱、面.

  

  

   三、引入新知

  介绍简单多面体的概念.(多媒体演示:简单多面体拓扑变形为“球”)

  

  

   四、探究发现欧拉公式

  (1)首先出示课本第56页图9—82的简单多面体,让学生根据图形填写每个几何体的顶点数、棱数、面数,并探寻三者之间的关系.

  (2)学生得出结论:顶点数+面数-2=棱数,教师建议把它改为:顶点数+面数-棱数=2,使三者的和、差关系为常数;再用V、F、E这三个字母来表示多面体的顶点数、面数、棱数,从而引出欧拉公式V+F-E=2.

  师:那么欧拉公式是否适用于所有的多面体呢?

  (3)再出示课本第57页图9—83的三个多面体,其中既有简单多面体,又有其他多面体,让学生通过观察这些多面体的顶点数、棱数、面数,从而得出结论:欧拉公式仅仅适用于简单多面体.

  体会2 探究离不开问题,探究是在有效发现问题过程中的探究,也是有效解决问题过程中的探究,探究性学习侧重于学生自主性学习和创造性学习.

  本小节安排了两个递进式的问题,意在让学生通过自行的观察、总结归纳,来发现欧拉公式及其适用的范围.

  

  

   五、欧拉公式的证明

  

   1.特例引路

  师:我们已从一些特殊的简单多面体中发现了欧拉公式,它是否对所有的简单多面体都适合呢?为此,我们来证明欧拉公式.为了大家研究的方便,我们还是从熟悉的几何体开始.

  教师出示了两个大小不同的四棱锥(如图1),要求学生回答这两个四棱锥哪些量相同.

  

  生:顶点数、棱数、面数.

  师:很好,这说明这两个不同的四棱锥的顶点数、棱数、面数不仅相等,而且都符合欧拉公式.除此以外,这两个四棱锥还有其它量相同吗?

  学生们围绕这个问题展开了讨论,有说体积相等,也有说表面积,但都被一一否定掉,正当大家百思不得其解时,有同学发表了他的独特见解:这两个四棱锥各面的内角总和相等.真是“一石激起千层浪”,大家对这位同学的敏锐洞察力报以了赞许的目光,教师趁势引发大家进一步思考:这两个不同的四棱锥,除了有相同的顶点数、棱数、面数之外,现在又发现了各面的内角总和也相等,这些相等的量之间有无内在联系呢?它能否为我们证明欧拉公式探寻到一条思路呢?

  教师又一次把学生推向了研究问题的前沿.有同学很快根据多边形的内角和公式(n-2)×180°,得出这个四棱锥的各面内角总和为1080°.角度总和有了,但似乎很难找出它与顶点数、棱数、面数之间的关系.正当同学们一筹莫展之时,教师建议不妨一步步进行演算、剖析,这样可能有助于问题的研究.

  于是师生一起进行了演算.

  四棱锥各面内角总和为:

  

  经过剖析演算,同学们惊喜的发现,这个四棱锥的各面内角总和为:(棱数-面数)×360°.但大家又感到困惑,内角总和与顶点数没有联系,怎么办?老师再次点拨学生:研究空间问题困难时,不妨把它平面化,这也是我们惯用的“伎俩”.教师随即作了动画演示,即让S点压缩到平面ABCD内(如图2).

  

  师:在这个压缩过程中,我们观察到它还是四个三角形,一个四边形,请问顶点数、棱数、面数、内角总和有无变化?

  生:没有.

  师:既然在一个平面内了,那么此时内角总和有无其它的计算方法?

  一番热烈的小组讨论后,有小组提出了新发现:因为是在一个平面内,各个三角形以底面四边形为顶点的角两两构成了底面四边形的内角,而以S为定点的三角形的四个角正好围成了一个周角,因此得出内角总和的另一种计算方法:

  

  亦即:四棱锥的各面内角总和又可表示为(顶点数-2)×360°.与压缩前各面内角总和为(棱数-面数)×360°相等,即可得证得欧拉公式.

  体会3 新课程标准强调:数字教学必须建立在学生已有的知识经验基础上.教材在研究欧拉公式证明时,直接证了一般形式,由于学生第一次接触拓扑变换,加上教材所给几何体较复杂,导致学生很难理解.为此,借助一个熟悉的几何体来开展研究,意在为学生的探究知识铺路、搭桥,既顺应了学生的思维发展,也能激发他们探究知识的热情.

  

   2.类比探究

  师:刚才我们通过研究四棱锥,以及压缩前后内角总和的两种表示方法以及总和的不变性,探寻到了四棱锥证欧拉公式的方法,那么,能否把它推广到一般的简单多面体呢?

  生:我们可以仿照刚才的步骤,去研究一般的简单多面体压缩前后的内角总和的两种表示法,希望能够得出类似于四棱锥内角总和的结论.

  师:很好,那么就请大家自行研究,为研究问题方便,现给出(如图3)图形,压缩前各面多边形分别设为n[,1],n[,2],…,n[,F]边形,压缩后底面最大多边形(即多边形ABCDE)设为m边形.

  

  教师话音未落,同学们已跃跃欲试了.

  交流研究成果时,请了两名同学,其中一位研究出了压缩前各面内角总和的表达式,而另一位则给出了压缩后的内角总和表达式.交流压缩后的多面体内角总和的同学认为研究较顺利,与四棱锥相似,压缩后多面体内角总和可以这样计算:底面多边形内角和计算两次,底面内部有一个顶点就有一个周角,在算内部有多少个顶点时遇到了困难,然而注意到底面m边形有m个顶点,总顶数为v,因此底面多边形内就有v-m个顶点,因此内角总和为:

  

  

  师:很好,大家都有效地进行了类比研究,碰到了困难不气馁,认真分析,寻找解题突破口,这种锲而不舍的精神,也正是我们学好科学文化知识,开展科学研究必须具备的品质.

  至此对于一般简单多面体我们也证明了欧拉公式.通过本节课的研究,实际上同学们领略了科学研究的一般过程:从特殊问题猜想出一般规律,再加以严格论证,在论证过程中,也可由特殊类比到一般.

  体会4 学会,重在接受知识,积累知识,以提高解决当前问题的能力,是一种适应性学习;会学,重在掌握方法,主动探求知识,目的在于发现新知识、新信息以及推出新问题,是一种创新性学习.新课程强调过程,强调学生探索新知识的经历和获得新知识的体验.本小节通过类比,让学生自行探究出证明欧拉公式的一般方法,让学生经历探索困难,但最终获得成功的体验.

  

  

   六、教学感想

  这是一堂研究性学习课,新大纲增设的“研究性课题”,主要指对某些问题的深入探讨,或者从数学的角度对某些日常生活中和其他学科中出现的问题进行研究.本节课教师通过构建层层递进式的问题系统,为学生提供了充分从事研究活动的机会,帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的知识和技能,数学思想和方法,获得广泛的数学活动经验.新的教学大纲指出,学生是学习的主人,教师要成为学生学习的促进者,而不是指导者.在本节课中,随着问题的层层递进,教师鼓励学生不断深入探究,在自主探索的过程中体验成功的乐趣.

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