由实验得结论 从特殊到一般

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副标题:——引导学生进行数学研究性学习课例

内容摘要:物理、化学等学科通常是通过做实验来展开教学过程的,其实数学教学也应该且完全可以做实验(称其为“数学实验”).《普通高中数学课程标准(实验)》明确指出:“合情推理是根据已有的事实和正确的结论、实验和实践的结果,以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程.”[1]当然与物

GB/T 7714-2015 格式引文:[1].由实验得结论 从特殊到一般.[J]或者报纸[N].数学教学,(07)

正文内容

  物理、化学等学科通常是通过做实验来展开教学过程的,其实数学教学也应该且完全可以做实验(称其为“数学实验”).《普通高中数学课程标准(实验)》明确指出:“合情推理是根据已有的事实和正确的结论、实验和实践的结果,以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程.”[1]当然与物理、化学等学科不同的是,数学决不止于从实验中获得的数据和由此得到的结论,数学对所获得的结论还需要加以严密的论证,这就是数学理性精神最闪光之处.

  所谓“数学实验”,就是从个别的、简单的、特殊的事例中采集数据,在逐步增加实验操作的数学科研含量和实验者的智力浓度的前提下,对这些数据进行分析、加工,从中归纳出一般的规律,再经过严密论证然后成为数学理论.本文就一个课例—《排列、组合、二项式定理、概率》的高三复习课,介绍笔者是如何与学生一道展开“从实验到结论,从特殊到一般”的数学研究性学习的(以下记教师为“T”,记学生为“S”).

  T:“我们在高一就知道集合A:={a[,1],a[,2],…,a[,n]}的子集有2[n]个,数学研究十分讲究符号语言的运用,所以我们记有n个元素的集合子集的个数为P(n).通过实验得P(1)=2,P(2)=4,P(3)=8,…由此猜想P(n)=2[n],但怎么证明此结论呢?”

  从学生熟悉的一个问题谈起,降低研究的起点.

  S[,1]:“为了构成A的子集,分别从A中依次取1个、2个、…、n个元素,再考虑到A的特殊的子集,可看作从A中取0个元素构成的,那么由加法原理得P(n)=C[0][,n]+C[1][,n]+C[2][,n]+…+C[n][,n]=2[n].”

  S[,2]:“设集合A的子集为B,A的每个元素是否取到B中,都各有两种可能,由乘法原理得P(n)=2·2……2=2[n].”

  S[,3]:“每增加一个元素,子集的个数就是原来的2倍,用数学语言描述就是P(n+1)=2P(n),又P(1)=2,那么就可得P(n)=2[n].”

  T:“怎么样,果然大家现在的认识能力和解决问题的能力比高一时要高出了许多.特别是S[,3],虽然我们没有学过数学归纳法,但是你实际上已经运用了这种方法.”

  学生受鼓舞.

  T:“下面是外国的一道名题:某人给n位朋友中的每个人各写了一封信,但都装错了信封,共有几种装法?虽然今天并不要求得到一般的结论,但我们还是可以做一些有益和有趣的研究.当n=4时,实际上就是1993年全国的高考题.为研究方便,记所有装错信封的种数为P(n),通过实验很容易得______.”

  S:“P(1)=0,P(2)=1,P(3)=2,P(4)=9,P(5)=44.”

  学生在这时深刻地体验到虽然做这些实验是必要的,但是我们的研究工作决不能停留在这个层面上,即使求出P(1000)(那得耗费多少精力和时间来从事这种低层次的查数学劳动啊!),也总结不出有价值的结论.

  S[,4]:“我们可以求出P(4)与P(3)之间的递推关系,4个元素的全排列数是A[4][,4],若只有1封信装对信封,其余都装错,则有C[1][,4]·P(3)种装法,……依此类推.可得

  P(4)=A[4][,4]-[C[1][,4]·P(3)+C[2][,4]·P(2)+C[3][,4]·P(1)+1].(其中的P(1)=0可省略).”

  T:S[,4]的研究工作找出了相邻两项的递推关系,于是取得了突破性的进展,由此不难得___”

  S:“P(5)=A[5][,5]-[C[1][,5]·P(4)+C[2][,5]·P(3)+C[3][,5]·P(2)+1];

  P(6)=A[6][,6]-[C[1][,6]·P(5)+C[2][,6]·P(4)+C[3][,6]·P(3)+C[4][,6]·P(2)+1];…”

  T:“有兴趣的同学可以进一步探索一般的规律,还可以提出变式问题:某人给n位朋友中的每个人各写了一封信,其中有m(1≤m≤n)封装错了信封,共有几种装法?”

  T:“当然数学研究不仅仅是指找出递推关系,也可有其他的方式,请看问题:

  (Ⅰ)在圆内接正十一边形的顶点中任取3个点,以这3个点为顶点作三角形,求圆心在三角形内部的概率;

  (Ⅱ)在圆内接正2n+1边形的顶点中任取3个点,以这3个点为顶点作三角形,求圆心在三角形内部的概率.”

  学生热情高涨,纷纷怀着浓厚的兴趣投入到探索研究之中,教者走进学生中间,与他们一起进行探讨,许多学生先由实验得当n=1、2、3时,概率分别为1、(1/2)、(2/5).但当n=4时,简单的查数根本就不能奏效,客观需要与主观追求都在呼唤高层次的、高效率的方法.

  S[,5]:“(Ⅰ)三角形总体的个数是C[3][,11]=165,圆心在三角形内部的充要条件是三角形为锐角三角形,设这个事件为A,因为三角形不可能为直角三角形,则事件A表示三角形为钝角三角形.为方便计(如图1),将正11边形的顶点依次记为1、2、…、11.

  

  T:编码是研究这类问题的好方法,这与用抽象的语言一样,可以大大提高工作的效率,并使表述的方式更加简洁.

  S[,5]:那么以长等于‘1、3’的弦为大边的钝角三角形有11个;以长等于‘1、4’的弦为大边的钝角三角形有2×11个;……则钝角三角形的总数为(1+2+3+4)×11=110(个),锐角三角形的总数为55个,故所求概率为(55/165)=(1/3).”

  T:“S[,5]的充满创造性的劳动开了解决此题的先河,基于此,问题(Ⅱ)就迎刃而解了.”

  S[,6]:“将上述问题一般化,得钝角三角形的总数

  

  学生验证当n=1、2、3、4、5时的结果,当然完全正确,心中充满了成功的喜悦.

  T:“从以上研究中,我们确实体会到‘以退为进’策略的巨大威力.当然在遇到千变万化的问题时还要具体问题具体分析.我们的思维要放开一些,以广阔的知识为背景,以丰富的数学经验为工具,采取最恰当的对策.请看下面的一个更具挑战性的问题(S求战的欲望很高,热切地期待着新问题的出台):设集合A、B,求满足条件A∪B={a[,1],a[,2],…,a[,n]}(n∈N[*])的有序集合(A,B)对的个数.”

  虽然以前只见过有序实数对,而从来没有见过什么“有序集合对”,但学生的精神反而为之一振.

  S[,7]:“若n=1,即A∪B={a[,1]}时,满足条件的有序集合对有3个,分别是({a[,1]},),(,{a[,1]}),({a[,1]},{a[,1]}).”

  T:“我们的研究工作刚起步,现在暂时还看不出眉目.”

  S[,8]:“若n=2,即A∪B={a[,1],a[,2]}时,有序集合对有9个,分别是……”

  T:“虽然S[,8]做的是简单的查数劳动,但他有条不紊的工作作风还是值得称道的.当n=3时,有序集合对有27个,我们不想一一写出来了,看样子,必须从中找出有价值的规律.”

  S[,9]:“我猜想一般的结论是:有序集合对有3[n]个,但不容易得到证明,经几次尝试,终于取得了突破,这样思考:若A=,则B={a[,1],a[,2],a[,3]},有序集合对有1个;若A有1个元素,有C[1][,3]种取法,如A={a[,1]},则B中至少有元素a[,2]、a[,3].又元素a[,1]在与不在B中,有2=2[1](种)可能,所以这时共有C[1][,3]·2[1]个有序集合对;若A有2个元素,有C[2][,3]种取法,如A={a[,1],a[,2]},则B中至少有元素a[,3].又元素a[,1]、a[,2]在与不在B中,有4=2[2](种)可能,所以这时共有C[2][,3]·2[2]个有序集合对;若A有3个元素,有C[3][,3]种取法,即A={a[,1],a[,2],a[,3]},B可以为空集.又a[,1]、a[,2]、a[,3]在与不在B中有2[3]种可能,所以这时有序集合对有C[3][,3]·2[3]个.综上,满足题设条件的有序集合对有1+C[1][,3]·2[1]+C[2][,3]·2[2]+C[3][,3]·2[3]=(1+2)[3]=3[3]个.”

  与第一个问题相呼应.

  S[,10]:“在A∪B={a[,1],a[,2],…,a[,n])的条件下,若A有k(0≤k≤n)个元素,有C[k][,n]取法,则B中至少有n-k个元素.例如A={a[,1],a[,2],…,a[,k]},则B中至少有元素a[,k+1]、a[,k+2]、…、a[,n].又元素a[,1]、a[,2]、…、a[,k]中的每一个在与不在B中有2[k]种可能,所以这时共有C[k][,n]·2[k]个有序集合对.综上,满足题设条件的有序集合对共有

  T:“大家今天当了一回小小的数学家,这样的学习研究方法为今后从事科研或其他任何工作打下的坚实基础将终生受用.宇宙天体、自然社会为我们提供了难以记数的奥秘,我们要能主动地、慧眼独具地发现问题、提出问题、解决问题、总结规律、形成理论、应用理论.那么我们今天的这节课的意义,就不仅仅是限于高考了.

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