对中学数学实验教学的认识与思考

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内容摘要:长期以来,人们对数学教学的认识就是概念、定理、公式和解题,认为数学学科是一种具有严谨系统的演绎科学,数学活动只是高度的抽象思维活动。数学教学中是否需要“实验”,对此还存在着认识上的偏差。历史表明,数学不只是逻辑推理,还有实验。新型的人才不仅需要传统意义上的逻辑思

GB/T 7714-2015 格式引文:[1].对中学数学实验教学的认识与思考.[J]或者报纸[N].四川教育学院学报,(11):71-72,80

正文内容

   长期以来,人们对数学教学的认识就是概念、定理、公式和解题,认为数学学科是一种具有严谨系统的演绎科学,数学活动只是高度的抽象思维活动。数学教学中是否需要“实验”,对此还存在着认识上的偏差。历史表明,数学不只是逻辑推理,还有实验。新型的人才不仅需要传统意义上的逻辑思维能力、几何直观能力和运算能力,而且还需要数学建模能力、数值计算能力和数据处理能力,数学实验正是为了综合培养这些能力而设置的。G.波利亚曾指出:“数学有两个侧面,一方面它是欧几里得式的严谨科学,从这个方面看,数学像是一门系统的演绎科学,但另一方面,创造过程中的数学,看起来却像是一门试验性的归纳科学。在传统的课堂里,学生的数学活动只是“智力活动”,或更为直接地说是解题活动,数学家在纸上做数学,数学教师在黑板上讲数学,而学生则每天在课堂上听数学和在纸上做题目,再创造方法不可能得到自由的发展。它要求有个实验室,学生可以在那儿个别活动或是小组活动。

   计算机技术的飞速发展使数学实验课的开设成为可能,学生不仅能在很短的时间内自由的选择软件,比较算法分析结果,而且能在显示器上通过数值的、几何的观察、联想、类比发现解决问题的线索,探讨规律性的结果,培养创新意识,计算机技术的发展为数学实验课程的开设奠定了基础。

   一、数学实验教学的有关概念

   在数学领域里,对数学实验有不同的理解和内涵。根据科学实验的定义以及数学学科的特点,数学实验的概念可以界定为:为获得某种数学理论,检验某个数学猜想,解决某类问题,实验者运用一定的物质手段,在数学思维活动的参与下,在特定的实验环境下进行的探索、研究活动。数学实验教学是指恰当运用数学实验,引导学生参与实践,自主探索,合作交流,从而发现问题,提出猜想,验证猜想的数学活动。数学实验与物理、化学实验相比不仅需要动手,更需要动脑,思维量大是数学实验的基本特征。中学数学实验是根据具体教学内容的需要,人为地、有目的地、模拟地创设一些有利于观察的数学对象,在典型的实验环境中或特定的实验条件下,经过某种预先的组织、设计,让学生借助一定的物质仪器或技术手段,并在数学思想和数学理论的指导下,对客观事物的数量关系的数量化特性进行观察、抽样、测试、检验、逼近、仿真等的一类数学学习活动。

   二、数学实验的研究现状

   过去数学教学中的测量、手工操作、制作模型、实物或教具演示等形式就是数学实验的形式,只不过是为了帮助学生理解和掌握数学概念、定理,以演示实验、验证结论为主要目的,很少用来进行探索、发现、解决问题。

   数学实验目前大多是以现代技术为工具。数学实验在国内主要有两种。其一是认为数学的实验就是数学的应用,在此观点的基础上采取数学建模加数学软件的模式,着眼点在于培养学生熟练地使用数学软件来解决实际问题的能力。其二认为数学实验就是以计算机为主要工具,采用观察、归纳、分析的方法去探索数学、认识数学和学习数学,他们的数学实验课采用的模式是:从某个具体的数学问题出发,以计算机为工具,利用小组合作学习或者组织全班讨论,开展研究性学习活动;实验过程中,依靠实验工具,让学生主动参与发展、探究、解决问题,从中发现、总结出可能存在的规律,获得数学研究、解决实际问题的过程体验、情感体验,产生成就感,进而开发学生的创新潜能。

   三、中学数学实验教学的可行性

   1.从宏观上看

   通过数学的直觉—尝试—出错—推测—猜想—验证等的理解过程,人们对很多浅显易懂问题进行探索,经过实验或体验从而提出很多著名的问题。著名的“哥尼斯堡七桥问题”就来自于生活体验。“哥德巴赫猜想”的提出就是数学实验的结晶。“四色问题”“费马大定理”和“费马小定理”等也都是通俗易懂。

   数学实验教学模式的基本思路是:从问题情境 (实际问题或数学问题)出发,学生在教师的指导下,设计研究步骤,在计算机(器)上进行探索性实验,发现规律、提出猜想、进行证明或验证。根据这一思想,数学实验教学一般主要包括以下五个环节。

   (1)创设情境。创设情境是数学实验教学过程的前提和条件,其目的是为学生创设思维场景,激发学生的学习兴趣。

   (2)活动与实验。这是这种教学模式的主体部分和核心环节。教师根据具体情况组织适当的活动和实验;数学活动形式可根据具体情况而定,最好是以2~4人为一组的小组形式进行,也可以是个人探索,或全班进行。

   (3)讨论与交流。这是开展数学实验必不可少的环节,也是培养合作精神、进行数学交流的重要环节。

   (4)归纳与猜想。归纳与猜想这一环节和活动与实验、讨论与交流密不可分,常常相互交融在一起,有时甚至是先提出猜想,再通过实验验证。

   (5)验证与数学化。提出猜想得出结论,并不代表实验结束,还需要验证,通常有实验法、演绎法和反例法。

   2.从理论上分析

   在学习过程中已有的认知结构和主体对建构过程的积极参与是非常重要的。即学生不是被动的知识接受者,而是主动的信息加工者。学生在已有的知识结构的基础上,对信息进行主动地选择、加工和处理。不断地同化和顺应,从而构建新的认识结构。

   在教育中应该注重培养和发展人的主体性。“学生既是教育的客体,又是教育的主体。”教育者应当为学生主体性的发展提供适当的环境和一切便利的条件,并在教育过程中充分调动他们学习和自我发展的积极主动性。

   3.从具体操作上讲

   中学数学的很多知识和内容都可发挥出数学实验的作用,通过实验的过程来体会、感悟和理解,达到对知识从感性到理性的深刻领会。

   对于高中数学新课程,必修课程由5个模块组成。选修课程有4个系列,其中系列1由2个模块组成,系列2由3个模块组成,系列3由6个专题组成,系列4由10个专题组成。其中每一部分都非常重视数学实验的教学。

   模块1,在函数应用中,引导学生不断体验函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型,利用计算器、计算机画图,探索、比较变化规律,研究性质,求方程的近似解。

   模块2,通过直观感知、操作确认、思辩论证、度量计算等方法认识和探索几何图形及其性质。对于立体几何,利用实物模型、计算机软件观察空间图形,认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征,并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构,通过画出几何图形,直观感受点、线、面的位置关系,认识和理解空间中的线线、线面、面面的平行垂直的有关性质和判定等等。

   模块3,算法、概率、统计突出了信息的处理和科学计算的思想等。通过模仿、操作、探索,学习设计程序框图表达解决问题的过程;体会算法的基本思想以及算法的重要性和有效性。合理收集、整理、分析数据和信息处理。可以为人们制定决策提供依据。可以通过实验、计算器(计算机)模拟估计简单随机事件发生的概率,抛硬币、摸奖、各种比赛的输赢都是很好的实验例子。

   模块4,向量是沟通几何、代数、三角的桥梁,具有丰富的实际背景和广泛应用。物理实验可以进行数学结论的验证,如,简谐振动,用沙子演示可观察出正弦曲线。物体做功可以体会向量的数量积问题。

   模块5,在测量和几何计算的有关实际问题中涉及解斜三角形。购房贷款、人口问题、储蓄、绿化等实践活动都属于数列模型,通过具体情境,可以感受现实世界和日常生活中存在大量的不等关系,用线性规划来研究最优化问题。

   选修课程的系列1的2个模块和系列2的3个模块的内容,可以充分发挥数学实验的作用。通过生活中的优化问题,即利润最大、用料最省、效率最高的优化问题,体会导数在解决实际问题中的作用。结合学过的数学实例和生活中的实例,了解合情推理的含义,体会和感受演绎推理的重要性。对于选修课程的系列3和系列4的16个专题,对数学实验的要求更高。

   四、数学实验教学的功用和价值

   1.数学实验创设了良好的教学情境,使学生有兴趣地、有信心地学习数学

   教学既是一门科学,又是一门艺术,教学过程是在特有的情境中产生和发展的,良好的情境会产生良好的情趣,良好的情趣可以使人有兴趣地、有信心地学习,教学实践表明,数学实验教学能创设良好的教学情境,使学生有兴趣地、有信心地学习数学。

   2.数学实验为学生提供了探究学习的平台,使学生积极主动地学习数学

   如何改变传统教学中学生的被动学习方式,其关键取决于教师教学方式的变革。在“数学实验”的活动中,教师的角色得到改变,教师为学生设置实验题目,引导学生进行实验,组织学生的小组学习,引导学生将实验结果进行归纳证明,学生们通过实验、操作进行观察、分析、探索、猜想和归纳,从而亲身体验数学、理解数学,学生的学习已由接受性学习转变为探索性学习。

   3.数学实验拓展了学生探究问题的空间,使学生富有创造性地学习数学

   在数学实验的活动中,学生们以小数学家的身份去观察、实验、分析、猜想、归纳、发现数学,使数学教学成为再创造、再发现的教学。在这一过程中,学生的创造性思维能力得到了提高。五、中学数学实验教学样例

   课堂实验 圆锥曲线的概念

   (1)目标我们知道,用一个垂直于圆锥的轴的平面截圆锥,得到的截面是一个圆。通过改变平面与圆锥轴线的夹角,观察得到一些不同的图形,它们分别是椭圆、双曲线、抛物线。通过观察平面截圆锥曲线的概念有一个感性的认识。

   (2)器材准备。

   盛有一定带颜色的水的圆锥形烧杯若干,塞上瓶塞,每桌一个。

   (3)操作步骤。

   将烧杯按不同角度放置,观察水面图形边界的形状。

   (4)现象与解释。

   设圆锥母线与轴的夹角为α,水面与轴线的交角为β,

   当β=90°时(即水面与杯底平行时),水面图形边界的形状是圆。改变水面与圆锥轴线的夹角,当β=α时(即水面与杯子的母线平行时),水面图形边界的形状是抛物线;当水面既不与杯底平行,又不与母线平行时,当β>α时,水面图形边界的形状是椭圆;当β<α时,水面图形边界的形状是双曲线。

   (5)目的。

   由此引出圆锥曲线的概念。

   (6)说明:还可以借助橡皮泥、水果等可以用刀子割开的物品作成圆锥型,然后做切割实验,看截面边界图形,可以感受圆、椭圆、双曲线、抛物线的曲线形状。当然也可以通过计算机模拟演示平面截圆锥面得到曲线的情况。

   六、数学实验教学存在的问题与思考

   1.数学教师对数学实验的认识不足

   传统的数学讲解课堂模式,在大多数教师身上留下了深深的烙印,表现在担心教学实验教学花时很多,怕影响其教学的进度与质量。事实上,恰当的数学实验不仅能够提高学生学习数学的兴趣,激发学生的热情,而且能提高教学深度和广度,有利于学生的分析和解决问题能力的培养。

   2.数学实验的能力较差

   由于数学实验是个“年轻”的课题,以前的学习中很少涉及此类问题,现在要求让学生自己进行数学实验(教师指导下),学生往往表现出不知所措:第一是学生难以设计出一套完整的实验方案,实验的过程中也提不出问题,完成不了必要的归纳和总结;第二是学生基本技能不足或遭遇挫折后容易夭折等一系列现象。在中学常规的教学中,开展数学实验教师也面临来自专业素质方面的挑战:一方面,对大多数中学教师来说,对计算机知识相对生疏,而利用计算机开展数学实验需要较多计算机知识,有时甚至要用到简单的程序设计知识;另一方面,开展数学实验,需要教师具有更强的数学知识和科研能力,这就对教师素质提出了更高的要求。

   3.数学实验的“软硬件”不足

   所谓“硬件”是指计算机(包括图形计算器)、测量工具等,由于长期以来没有数学实验的意识,计算机房只是供上计算机课使用,数学课中不能方便地使用,计算机辅助教学难以开展,就“软件”而言,就更加缺乏,教材中缺少实验的内容,教学杂志上关于数学实验的信息量也很少,教师又缺乏设计“数学实验”教学的经验。有些经济不发达地区的学校购买实验仪器设备还有一定的困难,这给推广数学实验造成了客观上的障碍和阻力。

   时代在发展,教育观念在更新。数学实验教学的提出是一种必然,也是一种需要,更是新课程改革精神的体现形式之一。因此,在数学教学中,应该充分挖掘实验素材,为学生进行数学实验创设良好的环境,这也是实施素质教育的重要途径。值得我们在数学教学中进行深入的研究和探索。

参考文献

[1] 曲长虹.对数学实验教学的认识与研究,中学数学,2006.2

[2] 林光来.数学实验教学的认识与思考,高中数学教与学,2006,5

[3] 孙立博.浅谈中学数学实验,数学通讯,2005,9

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