解析中考题中的几何应用型试题

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内容摘要:几何应用题通常以现实生活情景为背景,以图文并茂的形式,为学生提供一个生动的,有着浓重生活气息的问题情境。着重考查学生识别图形、动手操作、运用几何知识解决实际问题的能力以及探索、发现问题的能力和观察、想象、分析、比较、演绎、归纳、抽象、概括、类比、分类讨论、

GB/T 7714-2015 格式引文:[1].解析中考题中的几何应用型试题.[J]或者报纸[N].数学大世界:初中生辅导版,(4):29-31

正文内容

   几何应用题通常以现实生活情景为背景,以图文并茂的形式,为学生提供一个生动的,有着浓重生活气息的问题情境。着重考查学生识别图形、动手操作、运用几何知识解决实际问题的能力以及探索、发现问题的能力和观察、想象、分析、比较、演绎、归纳、抽象、概括、类比、分类讨论、数形结合等数学思想方法。考生通常要抓住问题的实质,将实际问题转化为数学问题,利用几何的性质来解决。

   一、图文信息型

   例1 现代家居设计的“推拉式”钢窗,运用了轨道滑行技术,纱窗装卸时利用了平行四边形的不稳定性,操作步骤如下:

   (1)将矩形纱窗转化成平行四边形纱窗后,纱窗上边框嵌入窗框的上轨道槽(如图1)。

   (2)将平行四边形纱窗的下边框对准窗框的下轨道槽(如图2)。

   (3)将平行四边形纱窗还原成矩形纱窗,同时下边框嵌入窗框的下轨道槽(如图3)。

  

   在装卸纱窗的过程中,如图所示α的值不得小于81°,否则纱窗受损。现将高96cm的矩形纱窗恰好安装在上、下槽深分别为0.9cm,高96cm(上、下槽底间的距离)的窗框上。试求合理安装纱窗时∠α的最大整数值。(下表提供的数据可供使用)sin81°=0.987 sin82°=0.990 sin83°=0.993 sin84°=0.995cos9°=0.987

  cos8°=0.990

  cos7°=0.993

  cos6°=0.994

   解 能够合理装上平行四边形纱窗时的最大高度:96-0.9=95.1(cm)。

   能够合理装上平行四边形纱窗时的高:96sinα。

   当∠α=81°时,纱窗高:

   96sin81°=96×0.987=94.752<95.1。

   所以此时纱窗能装进去。

   当∠α=82°时,纱窗高:

   96sin82°=96×0.990=95.04<95.1,

   所以此时纱窗能装进去。

   当∠α=83°时,纱窗高:

   96sin83°=96×0.993=95.328<95.1。

   所以此时纱窗装不进去。

   因此能合理装上纱窗时∠α的最大值是82°。

   评析:本题具有较强的生活气息,体现了应用数学知识解决现实生活中的问题的新课程理念,它借助文字语言和图示过程向学生展示了安装的全过程,要求学生根据文字和图示信息将实际问题转化为三角函数问题,在着重考查学生阅读理解能力和空间想象能力的同时以表格的形式给学生提供数据,考查了学生的数据处理能力。

   二、最优方案型

   例2 某市为了进一步改善居民的生活环境,园林处决定增加公园A和公园B的绿化面积。已知公园A,B分别有如图4,图5所示的阴影部分需铺设草坪,在甲、乙两地分别有同种草皮1608和1200出售,且售价一样。若园林处向甲、乙两地购买草皮,其路程和运费单价见下表:

  

  

  

   公园A

  

  

  

  

  

  

  公园B

  

  路程/千米 运费单价/元 路程/千米 运费单价/元甲地

  

  30

  

  

   0.25

  

  

  32

  

  

   0.25乙地

  

  22

  

  

   0.3

  

  

  30

  

  

   0.3

   (注:运费单价指将每平方米草皮运送1千米所需的人民币)

  

   (1)分别求出公园A,B需铺设草坪的面积:(结果精确到1

   (2)请设计出总运费最省的草皮运送方案,并说明理由。

  

   所以600≤x≤1608。由题意,得

   y=30×0.25x+22×0.3(1800-x)+32×0.25×(1608-x)+30×0.3(x-600)=1.9x+19344。

   因为函数y=1.9x+19344随x的增大而增大,所以当x=600时y有最小值y=1.9×600+19344=20484(元)。

   因此,公园A在甲地购买600,在乙地购买1800-600=1200();公园B在甲地购买1608-600=1008()。

   此时,运送草皮的总运费最省。

   评析:本题适应时代要求,以美化环境为背景为学生创设的最优化方案型应用题。本题很巧妙地将方程、不等式,函数等知识点溶入于几何问题当中,它要求学生从图形和表格中感悟题中的信息,将图表语言转化为数学符号语言或一般文字语言,将实际问题最终转化为函数问题,利用函数的增减性来解决。本题考查学生的阅读理解能力,信息迁移能力和建模能力的同时使得学生数学方面的潜能得到全方位的释放。

   三、证明说理型

   例3 如图6,从一个直径是2的圆形铁皮中剪下一个圆心角为90°的扇形。

  

   (1)求这个扇形的面积(结果保留π)。

   (2)在剩下的三块余料中,能否从第③块余料中剪出一个圆作为底面与此扇形围成一个圆锥?请说明理由。

   (3)当⊙O的半径R(R>O)为任意值时,(2)中的结论是否仍然成立?请说明理由。

  

   即无论半径R为何值,EF<2r,所以不能在余料③中剪出一个圆作为底面与此扇形围成圆锥。

   评析:本题是以圆为背景的几何证明说理型应用题,它要求学生有较强的分析能力和空间想象能力以及简单的推理能力,解答本题的关键是由∠BAC=90°得到BC为⊙O的直径,通过连接AO并延长,与弧BC和⊙O的两个交点入手,将问题转化为比较圆锥底面直径和EF的大小来解决。在解答本题的过程中,体现了数形结合,类比联想,转化等多种数学思想在解题中的妙用。

   四、规律探究型

   学习投影后,小明、小颖利用灯光下自己的影子长度来测量一路灯的高度,并探究影子长度的变化规律。如图7,在同一时间,身高为1.6m的小明(AB)的影子BC长是3m,而小颖(EH)刚好在路灯灯泡的正下方H点,并测得HB=6m。

   (1)请在图中画出形成影子的光线,并确定路灯灯泡所在的位置G;

   (2)求路灯灯泡的垂直高度GH;

  

   评析 本题取材于生活中的影长问题,为学生创设的规律探究性几何应用题,使得问题具有现实性,可探究性。本题通过“问题串”让学生的数学活动外露,试题由易到难,层次分明,适合各种学习程度的学生,体现了试题的公平性。在解决问题的过程中考查了学生的动手操作,空间想象,探究归纳等多种能力。

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