挖掘初中数学例题对“四基”的辐射功能

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内容摘要:例题教学是课堂教学的重要环节,也是学生实现自身数学知识重组与再创造的重要途径.例题作为一种知识的载体,作为一种重要的教学手段,作为师生互动、生生合作的重要平台,已经越来越引起人们的重视和关注.如何提高初中数学例题教学的实效性,实现例题教学价值的最大化?本文从例题的

GB/T 7714-2015 格式引文:[1].挖掘初中数学例题对“四基”的辐射功能.[J]或者报纸[N].教学月刊:中学版,(8):50-53

正文内容

  例题教学是课堂教学的重要环节,也是学生实现自身数学知识重组与再创造的重要途径.例题作为一种知识的载体,作为一种重要的教学手段,作为师生互动、生生合作的重要平台,已经越来越引起人们的重视和关注.如何提高初中数学例题教学的实效性,实现例题教学价值的最大化?本文从例题的设计与教学两个方面对如何挖掘初中数学例题教学对“四基”的辐射进行阐述,以期得到同行的共振和指教.

  一、设计的例题应具有基础知识的辐射功能

  基础知识复习是例题教学中一项十分重要的内容,在复习课的例题教学中应着力于解决基础知识的融会贯通,使学生养成“用数学”的意识.由于受知识范围的限制,新课教学时,往往对问题难以发散,造成学生思考问题过程中出现暗示或“用数学”中的某些确定的指向,不利于学生思维能力的提高.

  例1 如图1,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于点E,BE=EH,DH的延长线交AC弧于点G,延长AG,与DC的延长线相交于点F,连结AD,BC,BD,AC,CG.找出图中所有相等的角、相等的线段和相似的三角形.

  

  评注 本例题由浙教版《数学》九上第80页作业题B组第6题改编而成.由于在新授课中,许多例题、习题虽然十分典型,但受知识范围的限制,都没有进行深入的研究和挖掘.在复习课中,对这些问题进行适当的变式和拓展,有利于学生进一步了解知识间的内在联系,同时也有效地帮助学生回顾和复习相关的基础知识.

  本题涉及垂径定理、同弧或等弧所对的圆周角、直径所对的圆周角、直角三角形锐角的互余、等腰三角形的“三线合一”、有关相似三角形的判定和性质等等,有利于学生自觉回顾和梳理基础知识,培养学生“用数学”意识,因问题具有开放性,也有利于学生发散思维的养成,克服思维定势对解题的影响.

  二、例题教学应注意辐射数学的基本技能

  按照心理学的解释,技能就是顺利完成某种任务的活动方式,包括动作技能和心智活动技能.数学技能是一种特殊的技能,它是在数学学习中,顺利地完成数学学习任务的一种动作或心智活动方式,一般通过数学知识应用性练习而获得,通过概括和反复运用达到熟练.

  基本技能包括:运算技能,推理论证技能,探究物体与图形的形状、大小、位置关系和变换的技能,收集和处理数据的技能等等.

  基本技能的养成重在平时的积累,在例题教学中,通过一题多变、一题多问能有效地提高学生的基本技能.

  例2 已知等腰三角形的腰长是4,底边长为6,求周长.

  我们可以将此例题进行一题多变.

  变式1:已知等腰三角形一腰长为4,周长为14,求底边长.这是考查逆向思维能力.逆向思维是数学学习中常用的思维方式,有利于问题的解决.

  变式2:已知等腰三角形一边长为4,另一边长为6,求周长.改变条件,将原有确定的条件变为边的不确定,考查学生思维的全面性,改变思维策略,进行分类讨论.

  变式3:已知等腰三角形的一边长为3,另一边长为6,求周长.与变式2相比,其中的一条边长发生变化,考虑到“三角形两边之和大于第三边”,因此,长为3的边只能是底,这有利于培养学生思维的严密性.

  变式4:已知等腰三角形的腰长为x,周长为14,求底边长y的取值范围.从具体的数抽象为变量,渗透函数思想.

  变式5:已知等腰三角形的腰长为x,底边长为y,周长是14.请先写出二者的函数关系式,再在平面直角坐标内画出函数的图象.与前面相比,要求又提高了,特别是对条件0<y<2x的理解运用,是完成此问的关键;同时,通过画图,有利于培养学生的动手能力,渗透数形结合的思想.

  评注 选择典型例题进行一题多解或一题多变,有利于培养学生基本的运算技能,积累基本的问题思考方式和解题策略,体验数学思想在解题中的应用.基本技能的培养不能是一蹴而就的,需要通过一定量的训练逐步体验与积累,在例题教学中应尽可能通过小组合作交流,由学生参与解题后的归纳和反思,并对问题进行深入的剖析,挖掘问题的本质,揭示规律,才能形成学生自己的基本技能.

  三、例题变式应注意辐射数学的基本方法

  在例题教学中,采用教材原有例题进行变式和拓展是教学中常用的方式之一.在例题设计时,应注意如何用好原题,如何对原题进行重新设计,使其更具有典型性、示范性和知识应用的广泛性,更好地发挥例题的功效;教师在设计例题过程中,应考虑涉及的知识有否拓展,解题方法有无创新,思维含量有无提升,是否有利于学生的题后反思和规律总结.

  例3 如图2,已知E,F分别是平行四边形ABCD的边BC,AD上的点,且BE=DF.

  

  (1)求证:四边形AECF是平行四边形;

  (2)若BC=10,∠BAC=90°,且四边形AECF是菱形,求BE的长.

  本题由浙教版教材八下第104页例1改编而成,其中的第(1)小题将例题的条件和结论进行了交换.以第(2)小题为例,在教学过程中,教师可引导学生探究如下不同的解题方法.

  解法一:由AE=EC,∠BAC=90°,可知AE为Rt△ABC斜边上的中线,所以BE=CE=5.

  解法二:AE=EC,所以∠EAC=∠ECA.所以∠EAC+∠EAB=90°,∠ECA+∠B=90°,所以∠EAB=∠B,所以BE=AE=CE=0.5BC=5.

  解法三:如图3,连结EF,交AC于点O.所以AO=CO,AC⊥EF,所以AB//EO,

  

  

  解法五:因为AF=EC,AC⊥EF,所以AB//FE,又因为AF//BE,所以四边形ABEF是平行四边形.所以AF=BE.

  解法六:因为四边形AECF是菱形,AE=FC,由AF//BE,AB//FE,可得∠AEB=∠FCE,∠B=∠FEC,△ABE≌△FEC.

  解法七:如图4,以E为圆心,EC长为半径作圆E,因为四边形AECF是菱形,所以AE=EC,所以点A在⊙E上,因为∠BAC=90°.所以BC是⊙E的直径,所以BE=CE.

  

  评注 本题涉及所有平行四边形的判定方法,同时,在探究第(2)题的解题过程中,有效巩固了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、等角的余角相等、相似三角形的判定及其性质、三角形的中位线性质、全等三角形的判定及其性质、圆的基本性质等知识点及其在解题中的应用等等.

  在例题教学中,不在于罗列的方法有多少,更重要的是通过对例题的探究,学生自己会思考什么、能应用哪些性质和判定方法.因此,在例题的设计中,教师对解题方法要有预设;在学法指导上,提醒学生一题多思、一题多法;在教学方法上,着力于启发和引导.

  四、例题探究应注意辐射学生基本的活动经验

  著名数学教育家斯托利亚尔认为:数学教学是数学活动的教学,也是思维活动的教学.“数学基本活动经验”首先是“数学”的,所从事的活动要有明确的数学目标,没有数学目标的活动不是“数学活动”;其次是“经验”的,经验是一种感性认识,包含双重意义,一是经验的事物,二是经验的过程,数学经验是数学的感性认识,是在数学活动中积累的.再次是“活动”的,是对数学材料的具体操作和形象操作探究活动,包括抽象思维、数学证明、数学解题在内的整个数学学习活动.

  例4 如图5,在三角形ABC中,AB=AC=,BC=2,在三角形内任意作内接矩形EFGH,MNPQ.则两矩形的周长之和为( )

  

  A.4

   B.8

  C.12

   D.2+2

  方法一:取特殊点,分别求出两个矩形的周长;

  方法二:作BC边上的高AD,可得AD=BC=2,由此得AD=2DC,从而GF=2FC,PN=2NC.得出结论:一个矩形的周长等于BC长的两倍.

  评注 本题设计意图:首先是“数学的”,探究等腰三角形的内接矩形之周长问题;其次是“活动的”,可操作的,通过学生的动手操作,寻求特殊位置解决问题;再次也是经验的体现,由于条件中所给等腰三角形边长的特殊性,具有一定“数感”的学生就能对问题进行转化,寻求解题策略.

  培养学生基本活动经验应关注的是“经历过程”,动手操作的过程、思考的过程、探究的过程,从已有经验出发,根据解选择题的常用方法、矩形运动特点、图形特点及条件的特殊性等,确定解题方案.同时,还应关注学生“活动经验”的积累,即通过本题的解决,学生能得到什么启示,包括条件中矩形的不确定性对制定解题策略的影响,“数感”的初步体验等.

  例5 如图6,①②③④⑤五个平行四边形拼成一个含30°内角的菱形EFGH(不重叠无缝隙).若①②③④四个平行四边形面积的和为24,四边形ABCD面积是20,则①②③④四个平行四边形周长的总和为( )

  

  A.64cm

   B.48cm

  C.32cm

   D.24cm

  评注 “数学基本活动”的主体是学生,在教学中,通过学生充分的讨论,合作交流和动手操作,在实践中获取经验;“基本活动经验”是一个累积的过程,联想到楼梯铺设地毯问题的解题方法,凭经验和直觉,求结论中的周长总和应采用的是整体思想,应通过分析图形整体的特点来解决;其次本题是已知面积求周长,应思考如何将已知的面积转化为已知线段长度,通过引导学生探究、小组合作活动,得出解题方法.本题还涉及转化思想、整体思想、数形结合思想等在解题中的应用.

  总之,数学基础知识、基本技能、基本方法和基本活动经验是数学学习活动的核心内容与主要目标,也是学生数学素养最为重要的组成部分.在例题教学中,要让学生经历回顾和梳理旧知的过程、经历基本技能应用的过程、经历总结和反思基本解题方法的过程、经历积累和丰富基本活动经验的过程,只有这样才能最终形成应用数学的意识和能力.

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