“猜想

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副标题:——验证”在小学数学教学中的运用

内容摘要:数学猜想实际上是一种数学想像,是人的思维在探索数学规律、本质时的一种策略。它是建立在已有的事实和经验上,运用非逻辑手段而得到的一种假定,是一种合理推理。数学方法理论的创导者波利亚曾说:在数学领域中,猜想是合理的、值得尊重的,是负责任的态度。他认为,在有些情况下,教猜

GB/T 7714-2015 格式引文:[1].“猜想.[J]或者报纸[N].小学教育科研论坛,(10)

正文内容

  数学猜想实际上是一种数学想像,是人的思维在探索数学规律、本质时的一种策略。它是建立在已有的事实和经验上,运用非逻辑手段而得到的一种假定,是一种合理推理。数学方法理论的创导者波利亚曾说:在数学领域中,猜想是合理的、值得尊重的,是负责任的态度。他认为,在有些情况下,教猜想比教证明更重要。因此在小学数学教学中,我们应当重视“猜想一验证”这一重要思想方法的渗透与培养。

  数学猜想并不是胡思乱想,基本思维模式是:问题→反复思索→联想、顿悟→提出假说→验证结论。那么,如何在数学教学中合理运用与有机渗透呢?本文试通过三个具体的案例来谈谈自己的认识。

  一、对于新旧知识紧密联系的内容,要引导学生充分调动原有知识和经验,凭借“猜想一验证”的途径,利用旧知“创造”新知。抓住新旧知识的连接点,创设一定的问题情境,使学生能借助旧知产生“正迁移”,先建立猜想,然后从不同角度来验证猜想。

  例如,在教学“整数除以分数的计算法则”时,在复习的基础上,教师出示例2:一辆汽车小时行驶18千米,1小时行驶多少千米?引导学生根据“速度=路程÷时间”,列出算式:

  师:这是整数除以分数,请同学们想一想,该怎样计算。

  生:可以把分数化成小数来计算,(千米)。

  生:我觉得这种方法有局限性,当除数不能化成有限小数时,用这种方法就不能计算出正确的结果。

  生:因为分数除以整数(0除外),等于分数乘以这个整数的倒数。我想整数除以分数也只要用整数乘以分数的倒数。

  

  师:这种计算方法究竟是否正确呢?下面大家一起来探究“整数除以分数”的计算法则。(教师引导学生根据题意画出下面的线段图)

  

  师:根据上面的线段图,你能推算出1小时能行多少千米吗?

  生:从图中可以看出,如果把小时行的千米数看作1份,那么1小时行的千米数应该是18千米的倍。求1小时行多少千米,就是求18千米的倍是多少。(千米)。

  生:小时行18千米,就是2个小时行18千米,可以先求出小时行多少千米,算式为(千米)。因为1小时是5个小时,所以求1小时行多少千米是要算

  根据乘法结合律,可以得到:(千米)。

  师:从上面可以看出,整数除以分数只要怎样计算就可以了?

  生:(异口同声)整数除以分数,等于整数乘以这个分数的倒数。

  正当教师准备组织学生练习时,一位学生急忙站起来说;“老师,我利用商不变性质,同样可以推出整数除以分数计算方法:。”

  在上述教学过程中,教师通过“猜想一验证”的途径,充分调动了学生的积极性和主动性,引导学生多角度地探索新知;在学生利用原有的知识获取新知识的过程中,使学生主动探求、主动沟通、主动应用、主动完善的能力得到培养,变学生被动接受为主动探索,从而引导学生“创造”了新知。

  二、从学生的思维实际出发,顺应学生思路而又高于学生思路,以“猜想一验证”为主线,引导学生多角度地探索问题,发现规律。通过创设富有启发性的问题情境,引导学生经历猜想解决过程,从教学猜想走向教学发现,体现知识的“再创造”。

  例如:在平行四边形的面积教学中,重点是理解和掌握平行四边形面积的推导过程,难点是启发学生想到“新旧”知识的转化。我是这样教学的:

  (师先出示一个长方形,如下图)师:它的面积怎样求?

  生:长方形的面积=长×宽:6×4=24(平方厘米)

  

  师又出示一个平行四边形,师:它的面积怎样求?

  生:(沉思片刻)此时,有些学生开始认为是邻边相乘:6×5=30(平方厘米)。

  师:你是怎样想到的?

  生:因为长方形的面积等于长乘以宽,我猜想平行四边形的面积也可能是邻边相乘。

  师:刚才,同学们能借助原有的知识进行大胆猜想,这种学习精神很值得提倡。那么,这种猜想是否正确呢?下面我们一起来验证这个猜想。

  师:请同学们观察一下,上面的长方形和平形四边形,究竟谁的面积大?

  生;我们可以用数方格的方式来比较它们的大小。(利用多媒体覆盖上小方格)长方形共有小方格6×4=24(个);平行四边形中整格的有18个,不满一个的可以拼一拼,如图,一共又可以拼出6个,18+6=24(个)。

  

  师;对于平行四边形,怎样数小方格可以更快些?

  生:在数平行四边形的小方格时,我们可以沿着它的一条高剪下来(如图),将它移到右边,拼成一个长方形,就能很快数出它有24个小方格。

  生:还可以沿着另一条高剪下来,也拼成一个长方形。

  

  师:通过数方格,你发现了什么?

  生:我发现长方形的面积和平行四边形的面积相等。

  生:我发现刚才的猜想是错误的,如果用邻边相乘求平行四边形的面积,比它的实际面积偏大了。

  生:我发现将平行四边形变成长方形后,它的形状变了,但它的面积没有变。

  师:那么,究竟怎样计算平行四边形的面积呢?(放手让学生去探索)请同学们进行小组讨论。

  生:从刚才数方格的过程中,我发现可以将平行四边形转化成长方形。

  ……

  上述教学,我从学生的思维实际出发,顺应学生思路大胆建立猜想,进而验证猜想,让不同层次的学生都有发现、创新的机会,多角度地探索问题,多方法地验证“猜想”,从中渗透了科学的思维方法。这样,一方面验证了猜想是否正确,另一方面渗透了平移和转化的教学思想方法。为学生下面独立获取新知(将平行四边形转化为长方形)创造了非常重要的条件。

  三、在解题教学中,既要注重算理,又要合理估计结果,并能根据条件合理作出猜想,培养思维的创新性。引导学生从不同角度来探索,在探索过程中经历“先猜想、后验证”的体验与经历,将观察、分析、假设、验证交织在一起,不断提高学生发现问题、提出问题和解决问题的能力。

  在数学活动课上,我出示以下一道求解题:

  正方形ABCD和正方形CEFG,如图排列,且正方形ABCD边长为10厘米,则图中阴影(三角形BFD)部分面积为____平方厘米。

  

  读完题后,学生议论纷纷。

  生:这道题缺少条件。因为由于小正方形CEFG的边长未知,所以无法求出它的面积。

  生:小正方形CEFG的边长未知?我们可以设小正方形边长为一个具体的数,比如6,则(平方厘米)。

  师:假设具体数进行运算,会怀疑题目是否缺少条件,我们不妨设一个字母参加运算,看能不能得到同样的答案。

  生:于是将6换成字母a,列出算式:(平方厘米)

  算式中画“(10+a)×a÷2”部分可以相互抵消,求得结果还是50平方厘米。

  师:是啊,字母a在计算过程中消失了!

  生:说明答案与小正方形边长的大小无关。

  生:50平方厘米正好是大正方形面积的一半。

  生:我猜想阴影部分BDF与BCD的面积相等。

  师:那么,这个猜想是否正确呢?(请小组讨论)

  

  所以,三角形BEF与梯形CEFD面积相等,两者同时去掉公共部分梯形CEFH的面积,得到的ΔBCH与ΔDFH面积相等。即(平方厘米)

  师:可见,要求阴影部分的面积,实际就是求三角形BCD的面积。

  ……

  在上面的教学中,教师给学生提供了自主探索的机会,让学生在观察、讨论、交流、猜测的过程中,经历数学的学习过程,从中探索规律。引导学生从不同角度去分析、解决问题,逐步培养了学生探索和解决问题的能力。教学中,既让学生说算理,又引导学生估计结果,并能依据条件作出“合理猜想”从中学会科学的思维方法,学会了学习。

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