几何直观:探索解决小学数学问题的重要手段

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内容摘要:一、几何直观的意义  现实生活中的诸多问题被数学化后,脱离了问题自身具有的几何背景,变得抽象化、形式化,不利于解决.2005年义务教育数学课程标准修订改组将“几何直观”加到新的标准中,几何直观从此走进数学教育界的视野.2011版义务教育数学课程标准将几何直观作为十个核

GB/T 7714-2015 格式引文:[1].几何直观:探索解决小学数学问题的重要手段.[J]或者报纸[N].内蒙古师范大学学报:教育科学版,(20148):120-123

正文内容

  一、几何直观的意义

  现实生活中的诸多问题被数学化后,脱离了问题自身具有的几何背景,变得抽象化、形式化,不利于解决.2005年义务教育数学课程标准修订改组将“几何直观”加到新的标准中,几何直观从此走进数学教育界的视野.2011版义务教育数学课程标准将几何直观作为十个核心概念之一,足以见得几何直观的重要性.几何直观是探索和解决小学数学问题的重要手段.

  对于数学知识的抽象表达,学生感到难以理解,也很难挖掘数学的本质.事实上,义务教育阶段的主要目的之一是培养学生的数学思维能力.数学思维包含逻辑思维与非逻辑思维,二者相互促进又相互制约.非逻辑思维中的形象思维,促进逻辑思维的发展.然而形象思维的载体是图形,图形的生动化、形象化、直观化、视觉化的特征,有利于学生对数学知识的理解、掌握和提取.小学生的思维以具体形象思维为主,所以几何直观能力是学好小学经验几何知识的保证,是思考数学问题、发展数形结合思想、形成空间观念的基础,是学生必备的一种数学素养.因此,培养学生利用图形直观解决问题的能力,就显得尤为重要.

  二、几何直观的内涵及价值

  (一)内涵

  几何直观是指人们利用实物、形体模型和图形,生动形象地描述几何问题或者其他数学问题,展开丰富多彩的数学联想,直观地反映和揭示问题的思路,形成表象,从而有效解决数学问题的一种教学手段.

  (二)教学价值

  1.利于创造性思维的培养

  从思维意义上说,逻辑思维具有一定的线性,形象思维可以看作是逻辑思维的初级发展阶段.而形象思维则以图像、直观模型的方式呈现,再进行问题的探究.在数学学习过程中,将抽象转为直观,需要对问题独特的理解,这种理解便是一种创新.

  一般认为,数学的发展离不开创造性思维,数学思维包括形象思维与逻辑思维,形象思维的载体包含几何图形、符号等外部材料.数学发现活动中抽象思维与形象思维并存,数学创新思维兼顾形象思维与逻辑思维的作用,把数与形的联系得以加工,实现数学创造.猜想是形象思维和创造性思维的媒介,想象是形象思维的表现形式之一,想象力越丰富,猜想会越熟练.可以说,数学创造都是由猜想产生的.

  教师指导下的数学学习是一个“再创造”的过程.脑生理学研究表明,从人脑功能角度来看,左脑具有分析的、算数的、言语的、逻辑的、抽象的思维;右脑具有直观的、综合的、非言语的、几何图形识别的形象思维.从信息处理的角度来看,左脑是继时的、收敛性的,即因果式;右脑处理的是发散性的,即非因果式的,在解决问题时,左右脑交互联结、协同活动,对信息进行处理.因此,几何直观式发展创造性思维的先决条件.

  2.利于对问题的理解与解决

  图形直观是人类认识事物的基础,最有力论述是著名的数学家阿蒂亚所说的:“在几何中视觉思维占主导地位,而代数中有序思维占主导地位.所以,几何首先用到的是最直接的形象思维,用形象思维洞察”.

  从数学的发展史来看,诸多定理、法则的发现与验证,都借助于几何上的形象直观解释,开辟思路蹊径.这些定理、公式、原理,都是在几何图形背景的支持下,把难于理解和接受的抽象的内容直观化,抽象的方法形象化,被人们接受理解.

  由于数学本身的抽象性,决定了学习理解的障碍性,而直观却可以解除这种认知的障碍.学生的认知对象是数与形的现实及其规律,在教材中同一个数学知识,在现实背景下有着多样化的载体,学习者学习材料的性质特点、表达形式都直接影响对学生数学知识的把握,因此应该找寻我们对世界最初的认识起点,那就是图形.如对某班52个同学近视的调查中发现男同学有28人,女同学近视的人数比男同学的还少6人,问女同学有多少人近视?在这个问题的解决方法中,如果直接分析给出数学表达式,学生很难理解为什么要这么列算式,但是如果用画线段图的方法表示文字问题中所要表达的关系的话,就会为学习者开启分析问题的思路,那是因为直观的图示远比枯燥的数学文字或者是数学的形式符号更好理解.几何直观为问题的解决指明正确方向.

  3.利于感悟数学美

  日常生活中的事物,时刻给人以美的感受.现代数学家普遍认为数学美的内容主要包括数学理论和数学方法.其实,数学美的理论和方法与一般事物美的特征一样.从这个观点来看,把数学的美分为:“结构美,语言美(属理论构建方面),方法美(属方法内容也称之为形式美)”.总之,数学的美包括抽象简约及直观多姿,而几何直观则能彰显数学的结构美.例如,利用北京天安门的几何直观,感悟它的对称美;世博会中国馆的外观给人以平行与垂直现象;墙壁上的瓷砖,广场上的地砖,镶嵌与密铺,给人以视觉上美的享受;利用图形几何直观,了解它的奇异美;学生通过几何直观来发现美、感悟美、欣赏美.如:借助正方形计算,利用直观理解直柱体体积公式的统一美等.所以,培养学生的几何直观能力,不仅能提高学生基本的数学素养,而且可以把图形美的直观,对称、奇异、统一等特征融入整个教学过程中,学生在美的享受中发现知识、理解知识,在潜移默化中感受数学美.

  三、几何直观的表现形式

  孔凡哲、史宁中从中小学数学教学角度认为,几何直观有实物直观、简约符号直观、图形直观和替代物直观四种具体表现形式.杜佩璟认为直观有四种:实物直观、模型直观、言语直观、图像直观.秦德生从工具性的角度认为,几何直观可以分为实物直观演示、图形直观操作和图形直观表示.笔者认为几何直观表现形式可分为符号直观表示、实物直观表示、模型直观表示、图形直观表示.

  (一)实物直观表示

  这里既可以指客观世界中的实际存在物.如,木棒、小石子、球体、柱体、椎体等.通过生活中的粉笔盒来认识长方体,借助斑马线感知平行,通过旗杆与地平面的位置关系,认识直线的垂直;也可以指明确的几何图形,如圆、三角形、平行四边形,利用平面图形理解分数的意义;还可以指学科表征物,如计算器、算盘、三角板、量角器、七巧板、圆规等.借助实物直观模型演示,引导学生通过观察、操作等活动,感受和探索图形的特征,积累图形与几何的活动经验,建立初步的空间观念.一旦借助实物直观,把问题描述清楚,就可能使问题变得直观、简单.

  (二)图形直观表示

  这是指借助明确的几何图形对数学的问题进行描述和分析.如借助三视图、网格、点子图、直角坐标系等图形工具,对数学问题进行探索、描述与分析;借助单位圆来研究三角函数,利用数轴研究数系、方程的根的分布情况;借助直观图,如柱状统计图、饼状统计图、折线统计图等,进行数据的描述与分析.统计图直观、形象的特点常用统计图来描述统计信息,展示统计结果,可以帮助我们进行正确分析、判断或预测.

  (三)模型直观表示

  可以是利用现代信息技术进行图形的直观演示.即应用几何画板等多媒体手段进行几何图形、图像以及表格的呈现与动态演示.如长方形经过异面垂直平移形成长方体.也可以是对实际图形运动操作进行几何直观探索,包括对实物进行动手操作,如,折叠、展开、变换、切割等活动;图形的运动操作,如矩形以任意一条边为轴旋转,可得到圆柱体的几何事实,直角三角形以它的一条直角边为轴旋转,可得到圆锥体的几何事实.学生通过观察、操作、联想等活动,积累几何的活动经验,获得几何事实,找寻解决问题的策略.

  (四)符号直观表示

  指在实物基础上,经过一定程度的抽象而形成的.如,求有关行程的应用题,求有关倍数的应用题时,使用的矩形图和线段图都是符号化的直观图示,还有一些点子图、格子图等符号直观图;数轴上,正数和负数在0相反的位置,以数1为例,填上+号后,这个+1其实还是原本的1,而-1是以0为基准,位于与1相反的位置.符号不仅可以节省书写也是对概念的精确直观表现.π是圆周率的符号,是圆的周长与直径的比,无论圆的半径如何变化,源于周长的比率是个无理数,从数值角度看,圆的面积的计算也只是个近似值.简约、直观的符号都便于学生掌握.

  四、几何直观的策略

  课程标准指出“几何直观主要是利用图形描述和分析问题.借助几何直观可把复杂的数学问题变得简明、形象,有助于探索解决问题的思路,预测结果.”教师应根据不同的学习领域或课型,采用针对性强的策略进行有效的学习活动.

  (一)图形与几何——直观推导策略

  几何直观作为一种教学手段,经常应用在“图形与几何”领域中.而“图形与几何”学习的重要目标是发展学生的空间观念,其途径是“做”和“思”.在几何直观中,有一种具体表现方式就是实物直观,因此,在这一领域的教学中,应根据教学内容的性质与作用,比如,有关面积公式的教学,可以采用直观推导的策略.

  案例1 圆柱的侧面积

  师:(出示一个圆柱形的罐头瓶子)如果沿着高,将这个罐子侧面的商标剪开,那么会是什么形状呢?(见下面图示)

  

  生:长方形.

  师:这个长方形的长相当于圆柱的哪一部分?宽呢?

  生:长相当于圆柱的底面周长,也就是圆的周长;宽相当于圆柱的高.

  师:那么如何来计算圆柱的侧面积?

  生:用长×宽,也就是圆柱的底面周长×高!

  在圆柱的侧面积推导过程中,通过实物的直观,让学生在观察中发现了数据间的关系,进而从中发现了侧面积的计算公式;同时,渗透了一种转化的思考方式,让学生在做、思中发现、感悟.

  (二)数与代数——直观明理策略

  著名数学家华罗庚说过:“数以形而直观,形以数而入微.”在几何直观中,有一种具体的表现形式是图形直观.图形形象生动,通过其直观来让学生明白、理解抽象的算理是行之有效的手段.

  案例2 一个数除以分数

  

  师:怎样来解决这个问题?

  生:要先求出他们两人的速度.

  师:怎样列式?

  生:2÷先求出小明的速度.

  师:这个算式和我们以前所学过的算式有什么不同之处?

  生:除数是一个分数.

  师:怎么计算呢?让我们画个图来观察一下:(线段图)

  

  

  生3:哦,一个数除以分数,就等于乘以这个分数的倒数.

  师:我们刚刚是怎样研究出一个数除以分数的计算方法的?

  在一个数除以分数的计算教学中,借助具体直观的“形”与“算式”结合起来思考,让学生明晰抽象的算理,观察发现出算法.

  (三)解决问题——直观促思策略

  在解决问题中,充分借助几何直观,让学生探究出问题的特点,变抽象为直观,真正感受几何直观在解决问题中的价值与作用.在几何直观中,有一种具体的表现形式是替代物直观.

  案例3 鸡兔同笼

  情景探究:笼子里有若干只鸡和兔.从上面数,有8个头,从下面数,有26只脚.鸡和兔各几只?

  师:看到这个题目,你们打算用什么方法来解决?

  生:用画图来试试看.

  师:怎么画?

  生板演.(具体内容见下面图示)

  

  师:能否根据你画的,跟同学们说说你是怎么想的?

  生:我先用8个圆圈表示8个头,然后假设全部都是鸡,就给每个圆圈画上两条腿,那么就发现还剩10条腿,这就是兔子多出来的腿,我就把前面的5个圆圈再每个圆圈补上两条腿,因此就有5只兔,3只鸡.

  在解决问题中,学生通过替代物的直观,进而将抽象的鸡兔同笼问题化难为易,从而有效解决了问题.

  (四)探索过程——直观演绎策略

  在探索教学中,借助几何直观,可以便于打开学生的思维渠道,探究解题的突破口.在几何直观中,有一种具体的表现形式是符号化直观.

  案例4 数学思考

  情景探究:六年级有三个班,每班有两个班长.开班长会时,每次每班只要一个班长参加.第一次到会的有A、B、C;第二次到会的有B、D、E;第三次到会的有A、E、F.请问哪两位班长是同一个班的?

  师:4人小组里交流一下,可以用什么方法来解决这个问题比较简单?

  小组交流活动.

  师:谁来汇报?

  生:我们是用列表来解决的.(见下面表格)

  用数字“1”表示到会,用数字“0”表示没到会.

  

  师:结合图表,来说说你的想法.

  生:在列表中,我们从第一次的班长会里发现了A只能与D、E、F同班,再从第三次的班长会里排除了E、F,因此A与D同班.

  从上例中,可以看出借助符号化的直观帮助学生较好地分析了复杂的问题,在数学思考中,获得了解决问题的途径.

  (五)构建网络——直观梳理策略

  在复习教学中,其目标之一就是梳理知识体系,而往往在厘清知识之间的抽象、复杂关系时,就需要借助几何直观中的图形直观表现形式.

  案例5 平行四边形和梯形的单元复习

  师:同学们,你们学过的四边形有哪些?

  生:长方形、正方形、平行四边形、梯形.

  师:你们能否用一个图来表示它们之间的关系?

  生板演.(图示见下)

  

  师:跟大家说说你是怎么想的?

  生:最外面的大圈表示四边形,当有一组对边平行时,是梯形;有两组对边平行时,是平行四边形,因此里面的两个圈,分别是平行四边形和梯形;平行四边形里面的圈就是长方形,因为它是特殊的平行四边形;长方形里面的圈是正方形,因为它是特殊的长方形.

  在上面的几何直观中,学生形象地梳理出了四边形之间的关系,将抽象的特殊性在包含与被包含中彰显得淋漓尽致.

  总之,几何直观是学好小学数学知识的保证,是思考数学问题、发现数形结合思想的基础,是学生必备的一种数学素养,是解决小学数学问题的重要手段.在学习中运用几何直观,有助于学生理解和接受很多数学中抽象的内容、方法、观念,理解数学中的许多定理、概念、公式,促进学生理解数学的本质和思想,进而提高数学学习效果.

参考文献

[1]中华人民共和国教育部制定.义务教育数学课程标准(2011年版)[S].北京:北京师范大学出版社,2012.

[2]秦德生,孔凡哲.关于几何直观的思考[J].中学数学教学参考,2005(10).

[3]蒋文蔚.几何直观思维在科学研究及数学教学研究中的作用[J].数学教育学报,1997(4).

[4]D.希尔伯特,S.康福森.直观几何[M].北京:高等教育出版社,1959.

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